人教版初中数学2019年编期末复习(三)轴对称,01本章结构图)02重难点突破重难点1轴对称与轴对称图形【例1】(绵阳中考)下列图案中，轴对称图形是(D)1下列图案中，是轴对称图形的有(C)A1个 B2个 C3个 D4个2如图，ABC与ABC关于直线l对称，C30，则A的度数为603如图，ABC的顶点坐标分别为A(4，6)，B(5，2)，C(2，1)，作出ABC关于y轴对称的ABC，并写出点A的对应点A的坐标解：如图，A(4，6)重难点2线段的垂直平分线【例2】已知，如图所示，在RtABC中，ACB90，D是AB上一点，BDBC，过点D作AB的垂线交AC于点E，CD交BE于点F.求证：BE垂直平分CD.【思路点拨】先根据HL证明RtEBC与RtEBD全等，可得EDEC，即点E在CD的垂直平分线上又由BDBC可知点B在CD的垂直平分线上最后根据两点确定一条直线得证BE就是线段CD的垂直平分线证明：BDBC，点B在线段CD的垂直平分线上又ACB90，DEAB，EDBACB90.在RtEBC与RtEBD中，RtEBCRtEBD(HL)ECDE.点E在线段CD的垂直平分线上两点确定一条直线，BE垂直平分CD.【方法归纳】证明某条直线垂直平分某条线段时，只要分别证明该直线上任意两点到该线段两端点的距离相等即可4如图，在RtABC中，C90，B30.AB的垂直平分线DE交AB于点D，交BC于点E，则下列结论不正确的是(B)AAEBEBACBECCEDEDCAEB5如图所示，已知AD是BAC的平分线，EF垂直平分AD，垂足是E，交BC的延长线于F，求证：BCAF.证明：AD是BAC的平分线，BADDAC.EF垂直平分AD，AFDF.DAFADF.DAFDACADFBAD.BCAF.重难点3等腰三角形的性质与判定【例3】如图，在ABC中，ABAC，AE是BC边上的高，BD是ABC的平分线，与AE相交于点D，求证：点D在ACB的平分线上【思路点拨】连接CD，可证明ABDACD，ABDACD，由BD是ABC的平分线，即可证明其结论证明：连接CD.ABAC，AE是BC边上的高，BAECAE.在BAD和CAD中，BADCAD.ABDACD.ABAC，ABCACB.BD是ABC的平分线，ABDABC.ACDACB.点D在ACB的平分线上【方法归纳】等腰三角形“三线合一”的性质既涉及角相等，又涉及线段相等或垂直，为证明线段和角的关系增添了新的理论根据6如图：已知等边ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CECD，DMBC，垂足为M，求证：M是BE的中点证明：连接BD.在等边ABC中，D是AC的中点，DBCABC6030，ACB60.CECD，CDEE.ACBCDEE，E30.DBCE30.BDED，BDE为等腰三角形又DMBC，M是BE的中点7(河北中考改编)如图，AOB120，OP平分AOB，且OP2.若点M，N分别在OA，OB上，当M，N满足什么条件时，PMN为等边三角形？解：当OMON2时，PMN为等边三角形在OA上截取OCOP2.AOP60，OCP是等边三角形CPOP，OCPCPO60.MCOM2，OMON2，CMON.在MCP和NOP中，CMON，MCPNOP60，CPOP，MCPNOP(SAS)PMPN，MPCNPO.MPCMPONPOMPO，即CPOMPN.MPN60.PMN是等边三角形03备考集训一、选择题(每小题3分，共30分)1(北京中考)甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，不是轴对称图形的是(D)ABCD2已知点P(2，1)，那么点P关于x轴对称的点P的坐标是(B)A(2，1) B(2，1)C(1，2) D(2，1)3如图，ABC与ABC关于直线MN对称，P为MN上任一点，下列结论中错误的是(D)AAAP是等腰三角形BMN垂直平分AA，CCCABC与ABC面积相等D直线AB、AB的交点不一定在MN上4(广安中考)等腰三角形的一边长为6，另一边长为13，则它的周长为(C)A25 B25或32C32 D195(十堰中考)如图，将ABC沿直线DE折叠后，使得点B与点A重合，已知AC5 cm，ADC的周长为17 cm，则BC的长为(C)A7 cm B10 cm C12 cm D22 cm6(聊城中考)如图，点P是AOB外的一点，点M，N分别是AOB两边上的点，点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上若PM2.5 cm，PN3 cm，MN4 cm，则线段QR的长为(A)A4.5 cm B5.5 cm C6.5 cm D7 cm7如图，A15，ABBCCDDEEF，则DEF等于(D)A90 B75 C70 D608如图，A，B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形，点C也在格点上，且ABC为等腰三角形，满足条件的点C有(D)A6个 B7个 C8个 D9个9如图，BD是ABC的角平分线，DEBC，DE交AB于E，若ABBC，则下列结论中错误的是(C)ABDAC BAEDA C2ADBC DBEED10如图，在ABC中，AB20 cm，AC12 cm，点P从点B出发以每秒3 cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2 cm的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当APQ是以A为顶角的等腰三角形时，运动的时间是(D)A2.5秒 B3秒C3.5秒 D4秒二、填空题(每小题3分，共18分)11在ABC中，ABAC，A100，则B4012如图，ABC与A1B1C1关于某条直线成轴对称，则A17513如图，在ABC中，ABAC，点E在CA延长线上，EPBC于点P，交AB于点F，若AF2，BF3，则CE的长度为714如图，在等边ABC中，AC9，点O在AC上，且AO3，点P是AB上一动点，连接OP，以O为圆心，OP长为半径画弧交BC于点D，连接PD，如果POPD，那么AP的长是615(江西中考)如图，在ABC中，AB4，BC6，B60，将ABC沿着射线BC的方向平移2个单位长度后，得到ABC，连接AC，则ABC的周长为1216如图，点P是AOB内部的一点，AOB30，OP8 cm，M，N是OA，OB上的两个动点，则MPN周长的最小值8cm.三、解答题(共52分)17(10分)某科技公司研制开发了一种监控违章车辆的电子仪器如图，有三条两两相交的公路，你认为这个监控仪器安装在什么位置可离三个路口的交叉点的距离相等，以便及时进行监控？解：作法：如图所示，A，B，C代替三个路口连接AB，BC.分别作线段AB，BC的垂直平分线交于点P.则点P就是所求作的点18(10分)如图，已知RtABC中，ACB90，CDAB于D，BAC的平分线分别交BC、CD于E、F.试说明CEF是等腰三角形解：ACB90，BBAC90.CDAB，CADACD90.ACDB.AE是BAC的平分线，CAEEAB.EABBCEA，CAEACDCFE，CFECEF.CFCE.CEF是等腰三角形19(10分)如图，点A，B，C在平面直角坐标系中的坐标分别为(5，5)，(3，2)，(6，3)(1)作ABC关于直线l：x1对称的A1B1C1，点A，B，C的对称点分别是A1，B1，C1；(2)点A1的坐标为(3，5)，点B1的坐标为(1，2)，点C1的坐标为(4，3)解：如图所示20(10分)如图，已知ABC是等边三角形，E，D，G分别在AB，BC，AC边上，且AEBDCG.连接AD，BG，CE，相交于F，M，N.(1)求证：ADCE；(2)求DFC的度数；(3)试判断FMN的形状，并说明理由解：(1)证明：ABC是等边三角形，BACABC60，ABAC.又AEBD，AECBDA(SAS)ADCE.(2)由(1)知AECBDA，ACEBAD.DFCFACACEFACBAD60.(3)FMN为等边三角形，由(2)知DFC60，同理可求得AMG60，BNF60.FMN是等边三角形21(12分)(北京中考)在等边ABC中；(1)如图1，P，Q是BC边上两点，APAQ，BAP20，求AQB的度数；(2)点P，Q是BC边上的两个动点(不与点B，C重合)，点P在点Q的左侧，且APAQ，点Q关于直线AC的对称点为M，连接AM，PM.依题意将图2补全；小茹通过观察、实验，提出猜想：在点P，Q运动的过程中，始终有PAPM，小茹把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：想法1：要证PAPM，只需证APM是等边三角形想法2：在BA上取一点N，使得BNBP，要证PAPM，只需证ANPPCM.请你参考上面的想法，帮助小茹证明PA