河南科技大学课 程 设 计 说 明 书课程名称 数学分析课程设计题 目 函数的泰勒公式及其应用 学 院 数学与统计学院班 级 数应122班学生姓名 张思雨指导教师 侯海龙日 期 2015年1月9日 课程设计任务书（指导教师填写）课程设计名称 学生姓名 专业班级 设计题目 一、课程设计目的 数学分析课程设计运用所学数学分析知识归纳、推广、研究若干有关课题。通过本课程设计，使学生更深入地理解所学数学分析的知识，掌握运用所学数学分析知识用于数学理论，设计算法，培养学生数学的思维和分析能力，为今后数学学习和应用打好基础。二、设计内容、技术条件和要求 运用微分学的思想方法解决一定的实际问题。 由此对微分学的思想和方法形成深刻的认识，从而运用运动的、辩证的观点分析问题，解决问题。 掌握数学分析的基本知识和基本理论，能熟练地进行基本运算，并具有一定的逻辑思维能力和抽象思维能力，以及分析论证能力。三、时间进度安排 第一天, 集中学习、讨论，给出参考资料，进行资料查阅。 第二天, 学生选题，初步拟定实习题目，开始研究、设计。 第三天, 再次讨论实习中所涉及的问题。教师指导。 第四天, 检查各小组的实习情况。教师指导。 第五天, 提交实习成果及文档。 四、主要参考文献 1陈纪修数学分析第二版北京：高等教育出版社，2004 2 陈传璋，欧阳光中数学分析第二版北京：高等教育出版社，2003 3华东师大数学系编.数学分析第三版北京：高等教育出版社，2001 4费定晖.吉米多维奇数学分析习题集题解（16册）第四版济南：山东科学技术出版社，2012指导教师签字： 年 月 日函数的泰勒公式及其应用摘 要 众所周知，泰勒公式发展和成形是基于数学实际问题的需要，在数学分析中泰勒公式是一个重要的内容，它的理论方法已成为研究函数极限和估计误差等方面的不可或缺的工具，利用它可以将问题简单化，可以将非线性问题转化为线性问题，并能满足相当高的精确度要求，它是微积分中值定理的推广，也是应用高阶导数研究一般函数性态的重要工具。 在数学中，泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够光滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似估计函数在这一点的邻域中的值。关键词 皮亚诺余项，拉格朗日余项，泰勒公式，应用1 Taylor公式及其余项1.1泰勒公式的意义泰勒公式的意义是，用一个次多项式来逼近函数.而多项式具有形式简单，易于计算等优点.泰勒公式由的次泰勒多项式和余项组成，我们来详细讨论它们.当=1时，有 ，是的曲线在点处的切线（方程），称为曲线在点的一次密切，显然，切线与曲线的差异是较大的，只是曲线的近似.当=2时，有，是曲线在点的“二次切线”，也称曲线在点的二次密切.可以看出，二次切线与曲线的接近程度比切线要好.当次数越来越高1.2Taylor公式 由这些导数构成一个次多项式称为函数在点处的泰勒多项式，的各项系数 ，称为泰勒系数因而次多项式的次泰勒多项式就是它本身1.3 Taylor公式的各种余项定理1(带拉格朗日型余项的公式)假设函数在上存在直至阶的连续导函数，则对任一,泰勒公式的余项为其中为与间的一个值.即有 (2.3) 定理 （带皮亚诺型的余项的公式） 若函数在点处存在直至阶导数，则有，则当时，即有 （2.5）定理2所证的（2.5）公式称为函数在点处的泰勒公式， 称为泰勒公式的余项的，形如的余项称为皮亚诺型余项，所以（2.5）式又称为带有皮亚诺型余项的泰勒公式当（2.5）式中时，可得到 （2.6）（2.6）式称为带有皮亚诺型余项的麦克劳林公式，此展开式在一些求极限的题目中有重要应用。2 泰勒公式的应用由于泰勒公式涉及到的是某一定点及处函数及阶导数值：，以及用这些值表示动点处的函数值，本章研究泰勒公式的具体应用，比如近似计算，证明中值公式，求极限等中的应用2.1 应用Taylor公式证明等式例 设在上三次可导，试证： ，使得证明： (利用待定系数法)设为使下列式子成立的实数： （3.1）这时，我们的问题归为证明：，使得：令，则根据罗尔定理，使得，即：这是关于的方程，注意到在点处的泰勒公式：其中，比较可得原命题成立2.2 应用Taylor公式证明不等式例 设在上有二阶导数，当时，试证：当时，证明：在处的泰勒展开式为：其中将分别换为，可得： （3.4） （3.5）所以（3.4）式减（3.5）式得：从而，2.3 应用Taylor公式求极限例 求解：在这里我们用泰勒公式求解，考虑到极限，用带皮亚诺型余项的麦克劳林公式展开，则有所以，2.4应用Taylor公式近似计算由于泰勒公式主要是用一个多项式去逼近函数，因而可用于求某些函数的近似值，或根据误差确定变量范围特别是计算机编程上的计算例 求：（1）计算的值，使其误差不超过；解：(1) 由于的麦克劳林的泰勒展开式为： 当时，有故 当时，有从而省略而求得的近似值为： 2.5求曲线的渐近线方程若曲线上的点到直线的距离在或时趋于零，则称直线是曲线的一条渐近线.当时称为水平渐近线，否则称为斜渐近线.显然，直线是曲线的渐近线的充分必要条件为或如果是曲线的渐近线，则（或）.因此首先有（或）.其次，再由（或）可得（或）反之，如果由以上两式确定了和，那么是曲线的一条渐近线.中至少有一个成立，则称直线是曲线的一条渐近线，当时，称为水平渐近线，否则称为斜渐近线.而如果在趋于某个定值时趋于或，即成立 则称直线是的一条垂直渐近线.注意，如果上面的极限对于成立，则说明直线关于曲线在和两个方向上都是渐近线.除上述情况外，如果当或时，趋于或，即或，则称直线是曲线的一条垂直渐近线.例 求 的渐近线方程.解： 设 的渐近线方程为，则由定义 =由此为曲线的渐近线方程。结 论由于泰勒公式着重是利用增量法原理进行推导而来的，因而在很多近似问题中有广泛应用，但并不是所有的近似问题都可以用泰勒公式，它的限制条件也比较多，必须是阶连续可微函数，如果近似的阶数越小，则求出的误差也就会越大本文首先介绍了一下数学家泰勒及其他的主要著作，了解这部分内容有助于后面对他的主要贡献有所帮助紧接着对泰勒公式的余项进行了归纳总结，根据不同的近似情况选取不同的余项形式最后就是这篇论文的重点了，将泰勒公式在数学中各个方面的应用归纳总结了一下，概括性比较好希望对其他学习者有所帮助参考文献1 华东师范大学数学系.数学分析（上）M,高等教育出版,2001.2 吴文俊.世界著名科学家传记M.科学出版社,1992. 3 曹之江,王刚. 微积分学简明教程M.高等教育出版社,2004.4 裴礼文.数学分析中的典型问题与方法M.高等教育出版社,2006.5 陈纪修,徐惠平.数学分析习题全解指南M.高等教育出版社,2005.6 范培华,李永乐,袁荫棠.数学复习全书M.国家行政学院出版社,2008.