向量知识点总结一、教学要求：1. 理解向量（平面向量、空间向量）的概念，掌握向量的几何表示，了解共 线向量的概念，掌握向量的加法、减法，掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件。了解向量的基本定理，掌握向量的数量积及其几何意义， 了解用 向量的数量积处理有关长度、角度和垂直问题，理解直线的方向向量、平面的法 向量、向量在平面内的射影等概念。2. 理解向量（平面向量、空间向量）的坐标的概念，掌握向量的直角坐标运 算及两点间的距离公式。3. 掌握线线的定比分点和中点坐标公式，并掌握平移公式。二、知识串讲：平面向量及其运算（一）向量的基本运算1. 有关概念（1）向量既有大小又有方向的量叫做向量。常用有向线段表示向量向量二要素方向长度（2）向量的模一有向线段的长度|AB|，| a|长度等于1的向量叫做单位向量,a。|a|零向量 0 （ 0 的方向不定）， | 0| 0（3 ）共线向量（平行向量）方向相同或相反的向量叫做平行向量或共线向量4）相等的向量长度相等方向相同规定： 0 0 向量可以在平面（或空间）平行移动而不变。 规定：零向量与任一向量平行。2. 向量有三种形式（或三种表示）几何表示几何运算 代数表示 代数运算坐标表示坐标运算3. 向量的加法、减法与数乘 （1）向量的加法三角形法则或平行四边形法则 如图：向量加法的多边形法则如图，求 a b c2）向量的减法：a b a （ b） ，即向量 a 加上 b 的相反向量a b 的箭头指向被减向量）3 ）实数与向量的乘积长度|a| I I IaI方向：0时与a 同向a0时与a 反向a/a0时，a0存在唯一实数 ，使 b a4. 向量的运算法则(加、减、数乘)设向量 a ， b ， c 及实数 ， ，则： a bb a ( a b ) c a ( b c ) () a aa (a b ) a b I a| | | |a| |a| | b| |a b | |a| | b|也称为存在(此不等式表示三角形两边之和大于第三边， 两边之差小于第三边， 三角不等式。)5. 平面向量基本定理(向量的分解定理)e1 ， e2 是平面内的两个不共线向量，那么对该平面内任一向量a ，唯一实数对 1， 2 ，使得 a1 e1 2 e2 。(这个定理表明： 平面内的任一向量都可以沿两个不共线向量分解为唯 对向量的1 e12 e2 叫做向量 e1 ， e2 的线性组合， e1 ， e2叫做表这一平面内所有向量的一组 基底 。 基底不唯一，关键是不共线 基底给定，分解形式唯一应用：设OA , OB不共线，点P在直线AB上（即A、B、P三点共线）OP OA OB 且1（ ，R）（二）向量的坐标运算1在直角坐标系内，分别取与 x轴，y轴同方向的两个单位向量 i , j作为基 底，则该平面内任一向量 a，有且只有一对实数x，y，使得a x i y j ， 称（x，y）叫做向量a的（直角）坐标，记作 a （x，y），即为向量的坐标表 示。（如图，当把向量 a的起点移至原点时，（x，y）是向量a OA终点A的 坐标，即A x，y，x，y是向量a在x，y轴上的射影，与 a相等的向量的坐标 也相同。）2. 向量的坐标运算已知 a(x1， y1)， b(x2， y2 )，R则：（ 1）ab(x1 iy1 j ) (x2iy2 j )x1x2 iy1y2 jx1x2， y1y2|AB|2X2(3) a xi, yixi,yi（三）平面向量的数量积i.数量积的概念设向量 OA a , OB b，/ AOB叫做向量a与b的夹角。记作a , b , 0 a , b i80(i)数量 | a | | b |cos叫做a与b的数量积（或内积），记作 a bBA a bxi x2, yi y22yiy2即 a b | a | | b |cos的乘积。（2）数量积的几何意义：a b等于a的模I a |与b在a的方向上的射影| b |cos2.数量积的运算法则(i)a b b a ,a -00 a 0(2)(a ) b( a b)a (b)R(3)(a b ) c a cb c、亠注意：数量积不满足结合律！(a b ) c a (b c )(4)a (xi, yi), b (X2 ,y2),则a bxi, yi X2, y2XiX2yiy23. 重要性质a e | a | cos设 Pi Xi, yi ,P2 X2, 丫2,分点P x.P2是I上两点,P点在I 上且不同于R、P,，若存在一实数，使P1Ppp2，贝y叫做p分有向线段p1 p2所(2) a丄bab0X1 X2yr y20(3) a/bab| a | | b |或 a b| a | | bab(b0)(唯一确定）X1,y1X2,y2x1 y2X2y102（1）设e是单位向量,a , e ，贝V ea(4) a| a |2，即 | a |x2 y2 , | a b| |a| | b|（5）cos|a| |b|（四）定比分点与平移1.线段的定比分点成的比。（0, P在线段P1P2内；0, P在rp2外）X2X1X2，若P为RF2中点,y2% y222.平移PP (h, k),由 OP OP PPX , y X, y h, kx xy y平移公式