2009-2017全国高中数学联赛分类汇编第12讲：数列1、（2009一试7）一个由若干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和，最后一行仅有一个数，第一行是前个正整数按从小到大排成的行，则最后一行的数是（可以用指数表示）【答案】【解析】易知：()该数表共有100行；()每一行构成一个等差数列，且公差依次为，()为所求设第行的第一个数为，则=故2、（2010一试4）已知是公差不为的等差数列，是等比数列，其中，且存在常数使得对每一个正整数都有，则.【答案】从而，求得，.3、（2013一试8）已知数列共有9项，其中，且对每个，均有则这样的数列的个数为.【答案】491【解析】令，则对每个符合条件的数列有，且.反之，由符合条件的8项数列可唯一确定一个符合题设条件的9项数列.记符合条件的数列的个数为.显然中有偶数个，即个；继而有个2，个1.当给定时，的取法有种，易见的可能值只有0,1,2，所以.因此，根据对应原理，符合条件的数列的个数为4914、（2014一试4）数列满足，则=_.【答案】.5、（2017一试8）设两个严格递增的正整数数列，满足，对任意的正整数，有则的所有可能值为.【答案】13,20.【解析】由条件可知，均为正整数，且由于故反复运用的递推关系知因此而故有另一方面,注意到有当时,(1)(2)分别化为无解.当时，（1）（2）分别化为得到唯一的正整数此时当时，（1）（2）分别化为得到唯一的正整数此时综上所述，的所有可能值为学科/网6、（2009一试10）已知，是实数，方程有两个实根，数列满足，()求数列的通项公式（用，表示）；()若，求的前项和数列的首项为：所以，即所以当时，变为整理得，所以，数列成公差为的等差数列，其首项为所以于是数列的通项公式为；当时，整理得，所以，数列成公比为的等比数列，其首项为所以于是数列的通项公式为()若，则，此时由第()步的结果得，数列的通项公式为，所以，的前项和为以上两式相减，整理得所以，解得故当时，通项由，得，解得，故()同方法一7、（2010二试3）给定整数，设正实数满足，记求证：【解析】由知，对，有注意到当时，有，于是对，有，故8、（2011一试10）已知数列满足：R且，N（1）求数列的通项公式；（2）若，试比较与的大小【解析】（1）由原式变形得，则记，则，又，从而有，故，于是有（2），显然在时恒有，故9、（2012一试10）已知数列的各项均为非零实数，且对于任意的正整数，都有（1）当时，求所有满足条件的三项组成的数列;（2）是否存在满足条件的无穷数列，使得若存在，求出这样的无穷数列的一个通项公式；若不存在，说明理由综上,满足条件的三项数列有三个:1,2,3或1,2,-2或1,-,1(2)令则从而两式相减,结合得当时,由(1)知;当时,即所以或又所以10、（2012二试4）设，是正整数证明：对满足的任意实数，数列中有无穷多项属于这里，表示不超过实数的最大整数又令,则因此存在使得所以不然一定存在使得因此这与矛盾.所以一定存在使得(2)假设只有有限个正整数使得令则则不存在使得这与（1）的结论矛盾.所以数列中有无穷多项属于.终上所述原命题成立证法二:(1) 因此,当充分大时,可以大于如何一个正数,令则当时,因此,对于如何大于的正整数总存在使即否则,一定存在使且这样就有而矛盾.故一定存在使得令则故一定存在使,因此这样的有无穷多个,所以数列中有无穷多项属于11、(2013一试10)（本题满分16分）给定正数数列满足，这里.证明：存在常数,使得，.【解析】当时，等价于.对常数，用数学归纳法证明：，.12、（2013二试2）（本题满分40分）给定正整数.数列定义如下：，对整数，记.证明：数列中有无穷多项是完全平方数.【证明】对正整数，有，所以.设，其中是非负整数，是奇数.取，其中为满足的任意正整数，此时，注意到是奇数，故，所以，是完全平方数.由于有无穷多个，故数列中有无穷多项是完全平方数.学科&网13、(2013二试3)（本题满分50分）一次考试共有道试题，个学生参加，其中为给定的整数.每道题的得分规则是：若该题恰有个学生没有答对，则每个答对该题的学生得分，未答对的学生得零分.每个学生得总分为其道题的得分总和.将所有学生总分从高到低排列为，求得最大可能值.因为每一个人在第道题上至多得分，故.由于，故有.所以.由柯西不等式得，于是.另一方面，若有一个学生全部答对，其他个学生全部答错，则.综上所述，的最大值为.14、（2016二试4）（本题满分50分）设p与p+2均是素数，p3, 数列定义为，这里表示不小于实数的最小整数.证明：对均有成立对，设对成立，此时.故故对，有因此，由此知（注意是整数） 因np,p是素数，故，又p+2是大于n的素数，故，从而n与（p+n）(p+2)互素，故由知.由数学归纳法知，本题得证.15、（2017二试2）（本题满分40分）设数列定义为.当t=1时，由于由定义，结论成立.设对某个成立，则由定义即结论对t+1也成立，由数学归纳法可知，(1)对所有t=1,2成立，特别当t=r-1时，有从而若将所有满足的正整数r从小到大记为则由上面的结论可知由此可知，从而由于在满足的数有2018个，为由（1）可知，对每个恰有一半满足由于均为奇数，而在中，奇数均满足偶数均满足其中偶数必奇数少1个，因此满足的正整数r的个数为1