几种主要紊流模型的应用特性比较自从1883年Reynolds发现紊流流动的现象以来,关于紊流发生的机理、紊 流的结构一直是百余年来全世界同行学者所关注的课题。虽然描述紊流流动的精 确的微分方程已经得出，即Navier- Stokes方程，但因紊流的瞬时运动要素有脉动 现象，要对高度复杂的紊流运动进行直接的数值计算，必须采用很小的时间与空间 步长，才能分辨出紊流中详细的空间结构及变化剧烈的特性。现代计算机的存储 能力和运算速度尚不足求解任何一个实际的紊流问题，应用时甚为困难。求取流场内所有尺度涡的细节对于水力学工程应用而言，往往是不经济的， 大部分情况下只关心流场内运动要素的时均值。由于实际问题的需求不同，对紊 流模型的选取必然是多层次、多方面的。下面对几种主要紊流数值模型的应用特 性进行简要的介绍和比较。1紊流数值模型按照Reynolds平均法，求取紊流的连续性方程及时均运动方程如下：连续性方程：du &8 w 八+=0dx dy dz动量方程：du d(u2) d(uv) 8(uw)dt dx dy dz1 d p ddu d du d du =X + 门(u)2 +门uv I + | 门up dx dx dxJ dy |_ dyJ dz _ dz其他两个方向的方程也可以作类似的推导。由上述时均方程的导出可知时均 化的处理后产生了脉动值的附加项如，又称为Reynolds应力项。由于上述四 个方程含有多余的未知量，因而方程组是不封闭的，必须找出确定这些附加项的关 系式。所谓紊流模型就是使方程组封闭的模型，就目前数值模拟发展来看，紊流模 型主要分为紊流粘性系数法和Reynolds应力方程法。1.1素流粘性系数法Boussinesq在1877年提出紊流粘性的概念,是模拟Reynolds应力的最古 老建议，也是目前流行的大多数紊流模型的重要基石。具体做法是将紊流脉动所 造成的附加应力同时均的应变率联系起来，从而可以将Reynolds方程写为：du 6(uu )1 dpd2 udx.i p dx.t 6x, dx上式中nt为紊流粘性系数。引入Boussinesq假设以后,计算紊流流动的关键 就在于如何确定nt。所谓紊流模型也就是把nt与紊流时均参数联系起来的关系 式。根据确定n t方法的不同,可以将紊流模型区分为所谓的零方程模型、一方程 模型及两方程模型等。1.1.1零方程模型所谓零方程模型，是指不需要微分方程而是用代数关系式把湍流粘性系数与 时均值连系起来的模型。确定n t的方法有两种，一个是nt为常数；二是采用 Prandtl混合长度模型。Prandtl按照分子运动论自由长度的概念，提出紊流中涡团混合长度的概念, 认为紊动粘性系数可以写为：i du气=勺布式中：】主流的时均速度；y主流方向相垂直的坐标；、混合长度。lm是这种模型需要确定的参数，而该值的确定比较复杂，常与流动的类型有 关。但必须指出混合长度理论是基于紊流局部平衡的假定基础上的，在物理概念 上有一定的不足。1.1.2 一方程模型在混合长度理论中，nt的确定仅与几何位置及时均速度场有关，而与紊流的特性参数无关。从混合长度理论应用的局限性联想到紊流粘性系数应当与湍流本 身的特性量有关。Prandtl及Kolmogorov从上述考虑出发，提出了计算nt的下列表达式：1门=ct pk2lt u式中：cp经验系数l湍流脉动的长度标尺，一般不等于混合长度紊动能的方程为：dkdkdp+ pu=dt1 dxdxi i这里气称为脉动动能的Prandtl数,其值在1.0左右。系数在不同的文献中 取值不定。对于湍流脉动的长度标尺，常用的方法是采用类似于混合长度理论中 的lm计算式。在一方程模型中，湍流粘性系数与能表征湍流流动特性的脉动动能联系了起 来，这无疑优于混合长度理论。但在一方程模型中仍要用经验的方法规定长度标 尺的计算公式，这是一方程模型的主要缺点。1.1.3两方程模型在一方程模型中，湍流的长度标尺l是由经验公式给出的。其实长度标尺也是 一个变量，可以通过求解偏微分方程而得出。由于对靠近壁面地区的计算而言，8 方程的计算最为方便（E值为紊流中单位质量流体脉动动能的耗散率，即各向同性 的小尺度涡的机械能转化为热能的速度）。因而，在紊流的工程计算中,k-8的两方 程模型应用最广.紊动能k和紊动能耗散率8的方程依次为：dkdkd+ u =dti dxdx门m+f）弁bdx ii idd d+ u= dt i dx dxi iduP =U U di j在k-8模型中引用了 5个模型常数，其值依次为3=0.09, C1=1.44, C2=1.92, 6k=1.0,68=1.3。上述模型以各向同性紊动粘性为基础,又称为标准的k-8模型。上 述模型又称为标准的k-8模型，是以各向同性紊流黏性为基础的，因此对各向异性 紊流模拟的预报能力较差。两方程的紊流模型是所有紊流模型中最简单的完全模 型。1.2 Reynolds应力方程法上面介绍的各种紊流模型中都采用了各向同性的紊流黏性来计算湍流应力， 这些模型难以考虑旋转流动方向表面曲面变化的影响。我国著名科学家周培源早在20世纪40年代就导出世界上第一个计算湍流应力的17方程模型直接对湍流 脉动应力uw进行计算。但限于当时计算资源的影响，并未得到广泛应用。就目 前而言，Reynolds应力模型已开始用于工程数值计算的是二阶矩模型以及在此 基础上经简化而得出的代数应力模型,不少研究者认为这是目前最有发展前途的 湍流模型。1.2.1二阶矩模型对时均过程中形成的两个脉动值的乘积的时均值进行直接求解ut进行直 接求解，而将三个脉动值乘积的时均值 甄 采用模拟的方式计算的模型，称为二阶 矩Reynolds应力模型。这种紊流模型基于对精确的雷诺应力输运方程、紊动动 能方程，紊动能耗散率方程进行模化，大大提高了数值模拟的精确度，模拟应力的 方程为:k 28uu -(ckT+v)* Wi -Du u 8 =Dt8xi8u 8u、2衬 + U U i) - O e -i j dxi j dx3e 27、8u28uc (u u o k) + c U U i O U U v-1 k i j 3 i, j2 i j 8x3 i, j v w 8x上式中i, j=1,2, 3,因而实际上有六个分量的方程，由于上式中还引入了 k、E 两个变量，为使方程组封闭,还需补充两个方程:Dk 8 / k 2 8k8u、8uDt =云(c 8x +v8x)- UiUj weiiiiDedDt dxik2 视(c+v) e eWxi模型的常数根据文献推荐如下 ck=0.09,c1=2.30,c2=0.40,c=0.07,cl=1.45, c2=1.92。这六个常数是根据几种基本流动的确定和校准的，实际应用时还需要进一步的调整。1.2.2代数应力模型二阶封闭模型需求解八个以上的偏微分方程组，在使用时仍然过于复杂，人 们在此基础上将Reynolds应力方程简化为代数方程，从而既保证了原微分方程 的基本性质，又避免求解繁杂的微分输运方程。其Reynolds应力的代数表 达式为：2 2(C 1)2 + (1 - C ) p + C p bU U，= k 3山2 , 32 * 门，jC1 + (P*)du du、其中 p = (u ui + u ui-)i，ji j dxi j dxiiduPk% dxnm这样就得到了 6个Reynolds应力的代数方程，这些代数方程与k- e方程 相结合就构成了代数应力模型封闭的方程组。2应用特性比较对于无边界的射流或混合层，以及对于一般平直表面上的边界层类型的问题, 零方程模型常常可以得出相当好的结果。零方程模型的局限性是不适用于有回流 的比较复杂的流动,也无法处理表面曲率、来流湍流度的影响等问题。一方程模 型考虑了紊动动能的对流和扩散的影响，比零方程模型进了一步，韩国奇等采用此 模型预测槽沟流，得到了较好的效果。但是由于模型需要选定紊流长度标尺，对于 复杂流动，长度标尺分布确定比较困难,现已很少使用。两方程模型应用最广的是 k-e紊流模型。对于自由剪切流和壁面剪切流都可以取得满意的结果，而且计算量 较为适宜，所以被工程界广为使用。k-e紊流模型的主要缺点是涡粘性各向同性的 假定对所有的雷诺应力是一样的，因此k-e模式甚至无法精确计算简单的附着边 界层紊流为了克服各向同性紊流粘性假设的缺点，已经发展出非线性k-e模型、 RNGk-e模型、多尺度k-e模型、可实现k-e模型以及非线性RNGk-e模型。二阶矩模型是目前应用于工程数值计算的最精细的一种模型,与其他简化模 型或低阶模型相比，最大的优点在于浮力项自动进入雷诺应力和通量方程，尤其适 合计算分层对紊动的影响,具有潜在的通用性和极大的优越性，然而计算涉及较多 的偏微分方程组，非常复杂，计算耗时多，费用昂贵。代数应力模型是在二阶矩模型的基础上经简化得出，需要求解的微分方程数 目与相应的k-e模型一样，所增加的只是代数方程的求解，因而计算量增加不明显, 对于一些复杂的流动，如流动发生分离或不规则边界，代数应力模型的结果优于k- e模型，有学者认为代数应力模型是目前最有应用前景的紊流模型。