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(人教版)精品数学教学资料2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义学习目标:1.平面向量的数量积(重点)2.平面向量数量积的几何意义(难点)3.向量的数量积与实数的乘法的区别(易混点)自 主 预 习探 新 知1平面向量数量积的定义非零向量a,b的夹角为,数量|a|b|cos 叫做向量a与b的数量积,记作ab,即ab|a|b|cos .特别地,零向量与任何向量的数量积等于0.思考:向量的数量积的运算结果与线性运算的结果有什么不同?提示数量积的运算结果是实数,线性运算的运算结果是向量2向量的数量积的几何意义(1)投影的概念:b在a的方向上的投影为|b|cos ;a在b的方向上的投影为|a|cos .(2)数量积的几何意义:数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos 的乘积思考:投影一定是正数吗?提示投影可正、可负也可以为零3向量数量积的性质垂直向量ab0平行向量同向ab|a|b|反向ab|a|b|向量的模aa|a|2或|a|求夹角cos 不等关系ab|a|b|4向量数量积的运算律(1)abba(交换律)(2)(a)b(ab)a(b)(结合律)(3)(ab)cacbc(分配律)基础自测1思考辨析(1)向量的夹角和直线的倾斜角的范围相同()(2)设非零向量a与b的夹角为,则cos 0ab0.()(3)|ab|ab.()(4)(ab)2a2b2.()解析(1).因向量的夹角包括180,直线的倾斜角不包括180.(2).由数量积的定义可知(3).|ab|ab,(4).(ab)2(|a|b|cos )2a2b2cos2.答案(1)(2)(3)(4)2已知向量a,b满足|a|2,|b|,且a与b的夹角为60,那么ab等于_ab|a|b|cos 602.3已知|b|3,a在b方向上的投影是,则ab为_2设a与b的夹角为,则a在b方向上的投影|a|cos ,所以ab|b|a|cos 32.合 作 探 究攻 重 难向量数量积的计算及其几何意义(1)已知单位向量e1,e2的夹角为,a2e1e2,则a在e1上的投影是_(2)给出下列结论:若a0,ab0,则b0;若abbc,则ac;(ab)ca(bc);ab(ac)c(ab)0,其中正确结论的序号是_(3)已知向量a与b满足|a|10,|b|3,且向量a与b的夹角为120.求:(ab)(ab);(2ab)(ab). 思路探究根据数量积的定义、性质、运算律及投影的定义解答(1)(2)(1)设a与e1的夹角为,则a在e1上的投影为|a|cos ae1(2e1e2)e12ee1e2211cos.(2)因为两个非零向量a,b垂直时,ab0,故不正确;当a0,bc时,abbc0,但不能得出ac,故不正确;向量(ab)c与c共线,a(bc)与a共线,故不正确;ab(ac)c(ab)(ab)(ac)(ac)(ab)0,故正确(3)(ab)(ab)a2b2|a|2|b|2100991.因为|a|10,|b|3,且向量a与b的夹角为120,所以ab103cos 12015,所以(2ab)(ab)2a2abb2200159206.规律方法求平面向量数量积的步骤是:(1)求a与b的夹角,0,;(2)分别求|a|和|b|;(3)求数量积,即ab|a|b|cos ,要特别注意书写时a与b之间用实心圆点“”连接,而不能用“”连接,也不能省去.求投影的两种方法:(1)b在a方向上的投影为|b|cos (为a,b的夹角),a在b方向上的投影为|a|cos .(2)b在a方向上的投影为,a在b方向上的投影为.跟踪训练1(1)在ABC中,A60,AB3,AC2.若2,(R),且4,则的值为_设a,b,由已知得|a|3,|b|2,ab|a|b|cos 603,因为2,所以2(),所以ab,所以(ba)aba2b2(2)944,解得.(2)设非零向量a和b,它们的夹角为.若|a|5,150,求a在b方向上的投影;若ab9,|a|6,求b在a方向上的投影解|a|cos 5cos 1505,a与b方向上的投影为.,b在a方向上的投影为.与向量模有关的问题(1)已知向量a,b的夹角为60,|a|2,|b|1,则|a2b|_.(2)已知向量a与b夹角为45,且|a|1,|2ab|,求|b|. 思路探究灵活应用a2|a|2求向量的模(1)2(1)|a2b|2(a2b)2|a|22|a|2b|cos 60(2|b|)2222222244412,所以|a2b|2.(2)因为|2ab|,所以(2ab)210,所以4a24abb210,又因为向量a与b的夹角为45且|a|1,所以41241|b|b|210,整理得|b|22|b|60,解得|b|或|b|3(舍去)规律方法求向量的模的常见思路及方法(1)求模问题一般转化为求模平方,与向量数量积联系,并灵活应用a2|a|2,勿忘记开方.(2)aaa2|a|2或|a|,此性质可用来求向量的模,可以实现实数运算与向量运算的相互转化.,(3)一些常见的等式应熟记,如(ab)2a22abb2,(ab)(ab)a2b2等.跟踪训练2已知向量a、b满足|a|2,|b|3,|ab|4,求|ab|.解由已知,|ab|4,|ab|242,a22abb216.(*)|a|2,|b|3,a2|a|24,b2|b|29,代入(*)式得42ab916,即2ab3.又|ab|2(ab)2a22abb243910,|ab|.与向量垂直、夹角有关的问题探究问题1设a与b都是非零向量,若ab,则ab等于多少?反之成立吗?提示:abab0.2|ab|与|a|b|的大小关系如何?为什么?对于向量a,b,如何求它们的夹角?提示:|ab|a|b|,设a与b的夹角为,则ab|a|b|cos .两边取绝对值得:|ab|a|b|cos |a|b|.当且仅当|cos |1,即cos 1,0或时,取“”,所以|ab|a|b|,cos .(1)已知e1与e2是两个互相垂直的单位向量,若向量e1ke2与ke1e2的夹角为锐角,则k的取值范围为_(2)已知非零向量a,b满足a3b与7a5b互相垂直,a4b与7a2b互相垂直,求a与b的夹角. 思路探究(1)两个向量夹角为锐角等价于这两个向量数量积大于0且方向不相同(2)由互相垂直的两个向量的数量积为0列方程,推出|a|与|b|的关系,再求a与b的夹角(1)(0,1)(1,)(1)e1ke2与ke1e2的夹角为锐角,(e1ke2)(ke1e2)keke(k21)e1e22k0,k0.当k1时,e1ke2ke1e2,它们的夹角为0,不符合题意,舍去综上,k的取值范围为k0且k1.(2)由已知条件得即得23b246ab0,2abb2,代入得a2b2,|a|b|,cos .0,.母题探究:1.将例3(1)中的条件“锐角”改为“钝角”其他条件不变,求k的取值范围解e1ke2与ke1e2的夹角为钝角,(e1ke2)(ke1e2)keke(k21)e1e22k0,k0.当k1时e1ke2与ke1e2方向相反,它们的夹角为,不符合题意,舍去综上,k的取值范围是k0且k1.2将例3(1)中的条件“锐角”改为“”,求k的值解由已知得|e1ke2|,|ke1e2|,(e1ke2)(ke1e2)keke(k21)e1e22k,则cos,即整理得k24k10解得k2.规律方法1.求向量夹角的方法:(1)求出ab,|a|,|b|,代入公式cos 求解(2)用同一个量表示ab,|a|,|b|代入公式求解(3)借助向量运算的几何意义,数形结合求夹角2要注意夹角的范围0,当cos 0时,;当cos 0时,当cos 0时,.当 堂 达 标固 双 基1(2018全国卷)已知向量a,b满足|a|1,ab1,则a(2ab)()A4B3C2D0B因为|a|1,ab1,所以a(2ab)2|a|2ab212(1)3,故选B.2设e1和e2是互相垂直的单位向量,且a3e12e2,b3e14e2,则ab等于()A2 B1C1D2B因为|e1|e2|1,e1e20,所以ab(3e12e2)(3e14e2)9|e1|28|e2|26e1e2912812601.故选B.3已知|a|3,|b|5,且ab12,则向量a在向量b的方向上的投影为_. 设a与b的夹角为,因为ab|a|b|cos 12,又|b|5,所以|a|cos ,即a在b方向上的投影为.4若ab0,则a与b的夹角的取值范围是_因为ab|a|b|cos 0,所以cos 0,又0,所以.5已知|a|b|5,向量a与b的夹角为,求|ab|,|ab|. 解ab|a|b|cos 55.|ab|5.|ab|5.
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