高中数学圆的方程典型题型归纳总结倘若充分挖掘本题的几何关系,不难得出二在以=为直径的圆上。而丄 刚依题意,匚在以-为直径的圆上，则圆心（显然在直线?+/ - 25+l(2x+2y-11) = 0分析：此题最易想到设出，由一-得到-，利用设而不求的思想，联立方程，由根与系数关系得出关于的方程，最后验证得解类型一：巧用圆系求圆的过程在解析几何中，符合特定条件的某些圆构成一个圆系，一个圆系所具有的共同形式的 方程称为圆系方程。常用的圆系方程有如下几种：以宀为圆心的同心圆系方程: 1-_ -过直线T 与圆!1的交点的圆系方程x2矽+ + 兄（出 +旳+U）三0过两圆一、_1一 J八 和圆- I的交点的圆系方程IL I + 此圆系方程中不包含圆 ：，直接应用该圆系方程，必须检验圆【是否满足题意, 谨防漏解。当=时，得到两圆公共弦所在直线方程（q（耳-芯砂+（耳用）=0例1:已知圆一:与直线丁 1相交于L两点，匚为 坐标原点，若1 -， 求实数叫的值。好为直线与圆的交点，选取过直线与圆交点的圆系方程，可极大地简化运算过程。解：过直线 I与圆/ !1 -的交点的圆系方程为:b亠工一 6戸+空+ 乂 （戈+ 2丁 一 3） = 0 即又 n 满足方程，则叱一口二：|故亡=：例2:求过两圆h ? _ 和）II _ 1：的交点且面积最小的圆的方 程。解：圆一 一和I 一的公共弦方程为 疋+b - 2弘0-1尸 + 0 1尸-16二0 即2z+2-ll=0过直线L与圆 的交点的圆系方程为#H-代回圆系方程得所求圆方程依题意，欲使所求圆面积最小，只需圆半径最小，则两圆的公共弦必为所求圆的直径，圆心i必在公共弦所在直线- ； -上。即- 二+二八，则例3:求证：m为任意实数时，直线(m1)x + (2m 1)y= m 5恒过一定点P，并 求P点坐标。分析：不论m为何实数时，直线恒过定点，因此，这个定点就一定是直线系中任意 两直线的交点。解：由原方程得m(x + 2y 1) (x + y 5)= 0，2y 1 0解得x y 50y直线过定点P (9， 4)注：方程可看作经过两直线交点的直线系。例 4 已知圆 C: (x 1) 2+(y 2) 2 = 25,直线 I: (2m+1) x+ (m+1) y 7m 4=0 (m R).(1) 证明：不论m取什么实数，直线I与圆恒交于两点；(2) 求直线被圆C截得的弦长最小时l的方程.剖析：直线过定点，而该定点在圆内，此题便可解得(1)证明：I 的方程(x+y 4) +m (2x+y 7) =0.“2x+y 7=0，fx=3， m R，得彳x+y 4=0，&1，即I恒过定点A (3，1).圆心 C （ 1，2），| AC | = J5 v5 （半径），点A在圆C内，从而直线I恒与圆C相交于两点.1(2)解：弦长最小时，I丄AC，由kAC =一 ，2I的方程为2x y 5=0.评述：若定点A在圆外，要使直线与圆相交则需要什么条件呢?思考讨论类型二：直线与圆的位置关系例5、若直线y x m与曲线y . 4 X2有且只有一个公共点，求实数m的取值范围.解：曲线y 4 x2表示半圆x2 y2 4(y 0)，利用数形结合法，可得实数m的取值范围是 2 m 2或m 2、2 .变式练习：1.若直线y=x+k与曲线x1 y2恰有一个公共点，则 k的取值范围是 .解析：利用数形结合.答案：1v kw 1 或 k=22 2例6圆(x 3) (y 3)9上到直线3x 4y 11 0的距离为1的点有几个？分析：借助图形直观求解或先求出直线11、|2的方程，从代数计算中寻找解答.解法一：圆(x 3)2 (y 3)29的圆心为。1(3,3)，半径r 3.3 3 4 3 11设圆心。1到直线3x 4y 110的距离为d，则d 23.J32 42如图，在圆心。1同侧，与直线3x 4y 110平行且距离为1的直线I1与圆有两个交点，这两个交点符合题意.又 rd 3 2 1.与直线3x 4y 110平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意.符合题意的点共有 3个.解法二：符合题意的点是平行于直线 3x 4y 11 0,且与之距离为1的直线和圆的交点. 设#所求直线为Imii|3x4ym 0,则d_!i,I2 mii5,即m6,或mi6,也即h：3x4y60，或 l2：3x4y i60 .设圆Oi :(x3)2(y 3)29的圆心到直线li、J的距离为di、d2，则的最大、最小值.分析：(i)、(2)两小题都涉及到圆上点的坐标，可考虑用圆的参数方程或数形结合解决.解：(i)(法i)由圆的标准方程(x 3)2 (y 4)2x 3 cos ,可设圆的参数方程为(是参数).y 4 sin ,di32423, d23 3 4 3 1632 42二li与Oi相切，与圆O有一个公共点；12与圆Oi相交，与圆Oi有两个公共点.即符合题意的点共3个.说明：对于本题，若不留心，则易发生以下误解：3 3 4 3 ii设圆心Oi到直线3x 4y ii 0的距离为d，则d =- 2 3.V3242圆Oi到3x 4y ii 0距离为i的点有两个.显然，上述误解中的d是圆心到直线3x 4y ii 0的距离，d r，只能说明此直线与圆有两个交点，而不能说明圆上有两点到此直线的距离为i.类型三：圆中的最值问题例7:圆x2 y2 4x 4y i0 0上的点到直线x y i4 0的最大距离与最小距离的差是 解：圆(x 2)2 (y 2)2 i8的圆心为 (2 , 2)，半径r 3应，圆心到直线 的距离 d i0 5、一2 r，直线与圆相离，圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是V2(d r) (d r) 2r 6 22 2 2 2例8 (i)已知圆O：x 3) (y 4) i, P(x , y)为圆O上的动点，求d x y的最大、最 小值.(2)已知圆O2：(x 2)2 y2 i , P(x , y)为圆上任一点.求 丄二 的最大、最小值，求 x 2yx i则d2 xy2 96 cos2 cosi68 si n2 sin266 cos8si n26i0 cos()(其中tan4-)3所以dmax26 i036 ,dmin26 i0i6 .(法2)圆上点到原点距离的最大值di等于圆心到原点的距离di加上半径1,圆上点到原点距离的最小值d2等于圆心到原点的距离di减去半径i.所以 di . 32 42 i 6.d2. 32 42 i 4.所以 dmax 36 . dmini6 .22x 2 cos ,(2)(法i)由(x 2) y i得圆的参数方程：是参数.y sin ,则口 列2 .令型2t,x i cos 3 cos 3得 sin tcos 2 3t, i t2 sin()2 3t所以tmaxsin(tmin即上上的最大值为亠空，最小值为x i44即m (1 cos sin )恒成立.此时 x 2y 2 cos2sin2 5cos( ).r2上的点方面可所以x 2y的最大值为 2 5，最小值为 2 .5 .(法2)设匚2 k，则kx y k 20.由于P(x, y)是圆上点，当直线与圆有交点时，如x 1图所示，只须m不小于 (1 cossin )的最大值.设 u (sin cos ) 1. 2 sin( ) 14 Umax 21 即 m 21 .说明：在这种解法中，运用了圆上的点的参数设法一般地，把圆(x a)2 (y b)2设为(a r cos , b rsin ) (0,2 ).采用这种设法一方面可减少参数的个数，另-以灵活地运用三角公式从代数观点来看，这种做法的实质就是三角代换.两条切线的斜率分别是最大、最小值.2k k 2J k21，得k所以匚2的最大值为卫，最小值为33 .x 144令x 2y t,同理两条切线在 x轴上的截距分别是最大、最小值.,2 m厂由d _一 1，得m 2 帖.5所以x 2y的最大值为 2,5，最小值为 25 .例9、已知对于圆x2 (y 1)21上任一点P(x, y)，不等式x y m 0恒成立，求实数 m的取值范围.设圆 x2 (y 1)21 上任一点 P(cos , 1 sin )0,2 )- x cos , y 1 sin/ x y m 0恒成立- cos 1 sin m 0