家教网阳光家教网全国最大家教平台找家教上阳光家教网家教网阳光家教网全国最大家教平台找家教上阳光家教网家教网阳光家教网全国最大家教平台数学高考综合能力题选讲23方案优化型综合问题100080北京中国人民大学附中梁丽平题型预测寻找问题的最优解， 是这一类题目的共同特点. 解决问题的方法涉及均值不等式、单调性等求最值的方法，有些时候也用穷举法.由于与实际问题联系较紧密，此类问题在高考中往往以应用题的面目出现.范例选讲例1.某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全 部租出.当每辆车的月租金每增加 50元时，未租出的车将会增加一辆，租出的 车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费 50元.(I)当每辆车的月租金定为 3600元时，能租出多少辆车？(H)当每辆车的月租金定为多少元时， 租赁公司的月收益最大？最大月收 益是多少？讲解：(I)当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为3600 -3000502，所以这时租出了88辆车.(U)设每辆车的月租金定为x元，则租赁公司的月收益为:整理得：2.x12f x162 x-21000x-4050307050 .5050f x =100x -3000x -3000x -15050 .5050所以，当x =4050时，f x最大，最大值为307050.即当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益是307050元.点评：实际问题的最值要注意自变量的取值范围.HTTP-Z/WWiUU.VEiJJ-EDMZ例2.某工厂生产容积为-7：立方米的圆柱形无盖容器，制造底面的材料2每平方米30元，制造侧面的材料每平方米20元，设计时材料的厚度及损耗 可以忽略不计.的函数,（I ）把制造容器的成本y （元）表示成容器底面半径 x （米） 并指出当底面半径为多少时，制造容器的成本最低？求出最低成本；,此时最（n）若为某种特殊需要，要求容器的底面半径不小于 2 （米） 低成本为多少元？（精确到i元）讲解:（I）设圆柱形容器的高为h,则二 x2h所以,2 2y 二 30 X - 202 二 xh 二 30 二 x60 二因为X0，所以,260兀y 二 30 二 xx2二 30 二 X.丄.1X X_30 二 3 =90 二:-283 元，等号当且仅当x2X =1时取得.（n）当X 一2时，由（I）可知，不能利用均值不等式来求解y的最小值,所以，我们可以考虑函数y =30二x2 丑的单调性.X任取 XiX 2,；）,且设Xi:X2，则% _丫2 =30兀 Xi2- -X2Xi二 30 二石-x2Xi2+ X2 弘丿由于2 I/ ：: X2，所以,Xi2-x2 : 0, xi x2 XiX20，所以，yi ： y2 ,所以，函数y =30：x2 匕在区间2,；）上单调递增.X所以，当X =2时，y取得最小值为：i50 47i（元）点评：运用均值不等式要注意等号成立的条件.例3.小红现在是初一的学生，父母准备为他在银行存20000元，作为5年后上大学的费用，如果银行整存整取的年利率如下：找家教上阳光家教网家教网找家教上阳光家教网HTTP-Z/WWiUU.VEiJJ-EEMX阳光家教网全国最大家教平台找家教上阳光家教网找家教上阳光家教网项目1年期2年期3年期5年期年利率ri1.98%2.25%2.52%2.79%利息税为20%,则小红父母应该选择怎样的存款方式， 可使5年后所获收益 最大请说明理由.讲解：小红父母存款的方式可以有多种选择，但为了确保最大利润，应该遵 循如下原则：（1）5年结束时，所存款项应该恰好到期（否则以活期记，损失 较大）；（2）如果存两次（或两次以上），则第 2次存款时，应该将第1次存 款所得本息和全部存入银行.为叙述方便，用Pn m表示把a元本金，先存一次n年期，再存一次m年期所 得本息和如：P 2表示先存2个1年期，再存一个2年期所得本息和.首先，可以考虑下面的问题：Pm二Pmn是否成立？即把a元本金，先存一 次n年期，再存一次m年期与先存一次m年期，再存一次n年期，所得本息和 是否相同？因为 Pk = a a k rk I 4 = a 11 k rk ，k55 k丿所以，Pn m 二 a 1 上 n 41 - m rm = Pm .nI 5 八5 丿根据以上分析，我们只需考虑下面的几种情况：R 1 1 .1.1 1, R 1 1 .1.2, R 1 1 -3，P1 1 .2 2， R 5, R 2 3，P2 -2 -2，卩3 3 方法之一是直接计算，但运算量相对较大为此，我们可以考虑下面的办法：（1 ）比较R !与P2的大小关系：41.032 a,4,4二 a 1 一 2 r2二 al122.25%= 1.036 a1 5丿15)因为R + =a1吕2.5二 a.98%.5P2找家教上阳光家教网找家教上阳光家教网所以，R1VP2 所以，只需考虑上述八种情况中的：P -5, P1 2 3，P2 -2 -2，P3 3 找家教上阳光家教网阳光家教网全国最大家教平台HTTP-Z/WWiUU.VEJJ-EDMZ(2)比较p2 d和p3的大小.Pi 1, 1.98%1 2 4 2.25%佩 a ,.5.5P3 = a1342.52%: 1.060 a ,找家教上阳光家教网阳光家教网全国最大家教平台找家教上阳光家教网阳光家教网全国最大家教平台所以，P2.!P3 .所以，只需比较 R 5 ， P2 -2 -2 ，P3 3 .因为:Pa 198%14 5 2.79%0,.1.129 a，55(45P2半半=a 1+一汉2 汇2.25% f 常1.112 a，I5丿J d.125 a .所以，P 5最大，即小红父母应该选择先存一次1年期，再存一次5年期(或 先存一次5年期，再存一次1年期)获利最多.这与我们通常的认识是一致的.点评：本题的目的是通过分析、计算寻找问题的最优解.然而，如果通过穷 举得出结论，计算可能就较为复杂了，因此，需要优化的不只是结果，还有运算 的过程.咼考真题1.( 2001年上海高考题)用水清洗一堆蔬菜上残留的农药，对用一定量的 水清洗一次的效果作如下假定：用一个单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药量的11，用水越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上.设用x单位量2的水清洗一次后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数f x .(I)试规定f 0的值，并解释其实际意义；(U)试根据假定写出函数f x应该满足的条件和具有的性质；找家教上阳光家教网阳光家教网全国最大家教平台（川）设f X二y，现有a a 0单位量的水，可以清洗一次，也可以 把水平均分成2份后清洗两次，试问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较 少？说明理由.2.（ 2003年上海春季高考）在一次人才招聘会上，有 A、B两家公司分别 开出他们的工资标准：A公司允诺第一年月工资数为1500元，以后每年月工资 比上一年月工资增加230元；B公司允诺第一年月工资数为 2000元，以后每年 月工资在上一年的月工资的基础上递增 5%.设某人年初被A、B两家公司同时 录取，试问：（I）若某人分别在A公司或B公司连续工作n年，则他在第n年的月工资 收入分别是多少？（U）该人打算连续在一家公司工作 10年，仅从工资收入总量较多作为应 聘的标准（不计其它因素），该人应该选择那家公司，为什么？（川）在A公司工作比在B公司工作的月工资收入最多可以多多少元？（精 确到1元），并说明理由.答案与提示：1.（I） f 0 =1表示没有用水清洗时，蔬菜上的农药量将1保持原样；（U）函数f X应该满足的条件和具有的性质是：f 0=1,f 1二； 且0 ： f x _1， f X在0,上单调递减；（川）a 2 2时，两次清洗后残留的农药量较少，a =2、一2时，效果相同，0 ：a ：2门时，一次清洗残留的农药 量较少. 2 .（ I ）在A公司和B公司第n年的月收入分别为f f -L1270230 n,2000 空 ；（H ）应选择 A公司；（川）826 元.120丿找家教上阳光家教网