A辑第16卷第3期2001年9月水动力学研究与进展Ser.A,Vol16,No3JOURNALOFHYDRODYNAMICSSep.,2001:1000-4874(2001)03-0279-16应用多重尺度法推导浅水波方程和悬沙扩散方程朱志夏2韩其为彳，丁平兴彳(1.上海交通大学船舶与与海洋工程学院，上海200030;2中国水利水电科学研究院，北京100044;3华东师范大学河口海岸国家重点实验室，上海200062):根据潮流、波浪及湍流运动尺度不同的特点.引入奇异摄动理论中的多重尺度法.应用导数展开法分离NavierStokes方程和质量传输方程导出了波浪作用下的浅水环流方程、潮位和潮流作用下的浅水波方程及波流联合作用下的悬沙扩散方程用数学方法解释了潮流波浪的相互作用和影响。并与雷诺方程进行了比较。为研究海岸动力因素运动规律和诸动力因素与海岸相互作用奠定了理论基础。:多重尺度法:质量传输方程:波流联合作用:浅水波方程:悬沙扩散方程:03532:A1引言多重尺度法是在研究奇异摄动问题时，利用自变量的多重尺度性，引进多个具有不同尺度的自变量来代替原来的自变量的一种方法。根据自变量选择形式的不同，分为:导数展开法、两变量展开法(线性尺度)和一般多重尺度法(非线性尺度)。多重尺度法在奇异摄动理论中是应用最为广泛的方法之一知。在波的相互影响方面:Bretherton,F.P.(1964)|4分析了波与波之间共振的相互作用，对于弥散介质中随机波的非线性相互作用的研究，取得了不少成果:Benney,D.J.和P.GSaffinan(1966)|5Benney,D.J.(1967),6kDavidson,R.C.(1967)、Benney,D.J.和A.CNewell(1967,1969)1491.Hoult,D.P.(1968)何、Newell,A.C.(1968)n，Davidson,R.C(1969)2,则对弱非线性色散波系统的均匀湍流系集中波的相互作用的时间进展作了研究。水波问题研究方面W：Carrier,D.F.(1966)心分析了变深度水体中的重力波Jacobs,SJ.(1967)1,41:2000-01-22:国家杰出青年科学基金资助项目(49825161)和华东师范大学河口海岸国家重点实验室资助项目:朱志夏(1964)，男.副研究员.博士。1995-2004TsinghuaTongfangOpticalDiscCo.,Ltd.Allrightsreserved.得出潮汐方程组的渐近解.Freeman,N.C.和R.SJohnson（1970）心对剪切流中的浅水波、Chu,V.H.和CC.Mei（1970）（就缓变的Stokes波以及Nayfeh,A.H.（1970,1971）191对二阶谐振情形、毛细现象和重力波相互作用下的三阶谐振情形进行了一些研究,Davey,A和KStewartson（1974）120求解了三维表面波的包络线,Hsieh,D.Y.（1972,197&1979沖研究了界面的稳定性，梅强中（1984）1241给出了缓变波列的多重尺度分析。采用数值模型方法研究波浪、潮流相互作用以及波浪、潮流共同作用下的泥沙运动时，关键是如何处理主要动力因素潮流和波浪具有截然不同的时空尺度。其中，潮流运动具有周期长、水位变化平缓、较大时空尺度的特征;波浪运动则具有周期短、水位变化频繁、较小时空尺度的特性且同时共存有更小尺度的湍流运动。因此，为准确地模拟波浪、潮流共同作用下的泥沙运动，必须将不同尺度的变量在所研究的数值模型中统一到同一尺度下。为此，本文采用多重尺度法分离潮流、波浪、湍流所满足的Navier-Stokes方程及质量传输方程，根据波浪、潮流的特点作不同处理，以实现波浪、潮流的耦合计算及波流联合作用下泥沙运动的数值模拟。2基本方程21NS124261(1)）f+十瓷层）八。公式（1）（3）中，小为坐标轴上的速度分量;P为压力；为流体密度;X,为体积力（如重力）为流体运动粘滞系数:C为介质（悬沙）浓度:A,为介质的扩散系数;Sc为源汇项（如排沙洞等），此处Sc=0;下标:心1,2,3,j=1,2,3,遵循张量杏和约定。坐标系示意图如图1所示，其中为波浪幅值;I为水位（潮位）；厂为平均水深（一个波周期内）；加为海底高程:加为静止水面下的水深M为某一时刻水深；咒”为某一深度基准点;MWS代表一个波周期内的平均水位（MeanWaterSurface）;SWL代表无潮无波时的静止水平面（StillWaterLeveDo3导数展开法的应用考虑到水波问题中的基本流（潮流）、波浪、湍流并存，又相互影响和相互作用，而且时间尺度和空间尺度均各不相同。其中潮流的时间尺度和空间尺度远大于波浪的时间、空间尺度,而波浪的时间、空间尺度又大于湍流的时间、空间尺度因此，本文采用多重尺度法中的导数展开法，对NS方程和质量传输方程进行分离变换l228,o取潮流时间及空间尺度分别为：ro=r,X。小，夕1995-2004Tsing/maTongfangOpticalDiscCo.,Ltd.Allrightsreserved.朱志夏等:应用多重尺度法推导浅水波方程和悬沙扩散方程281(10)朱志夏等:应用多重尺度法推导浅水波方程和悬沙扩散方程281设:图1波浪时间及空间尺度分别为:r.=er,湍流时间及空间尺度分别为2二，此处为小参数。对时间r和空间X,的导数分别为Ja坐标系示意图XH=j9X2r=Xi,)o+叭十CD2其中:心aEni=Eoi+E1/+CEnn=0,1,2C3Hi=fl,t2,Xo,Xl,X2,0=刀Cu小(/(),f2,Xo,X1,X2)coP(A),Zi,h,Xo,Xi,X2,=刀Cp*(fo,h,r2,Xo,Xi,X2)coC=C(Z(),f|,tl,Xo,Xl,XQ=(fo,/1,t2,X0,X1,X2)coX1=甘X其中：Xo=(XO1,XO2,XO3),X1=(X1I,X12,X13),X2=(X2,X22.X23)将代入(1)得：(Do+1+D2)(Wio十6/1+U/2)+ik(Eoj+Eij+CE2j)(Wio十6/i十吕仃2)(I仃o+6/71+6s丿2)+(Eoi+6Eh+CE2i)(Po+Pi+i)-(XR)十0C/i+Xc)-v(E(”+Eij+(iiio+6/ii十Cm,2)=01995-2004TsinghuaTongfangOpticalDiscCo.,Ltd.Allrightsreserved.(7)(10)2001番3SD0M-0+EOj(M/Ossjo)+JLvfojEOJMOH0Dou二+D二a+Eoj(w&ujl+匸二wjo)+E二(Mowjo)+(EOFElso)-X:WEOjElf-l+2E0jEUW/0)HoD02+D二rl+D20+Eoj(0芒2+m二jo)+E-j(Mss二+s:二Xjo)+E2(zmjo)+(lib)vEOJEOj2+2EOJE+(E0&2J+E2jE0j)0H0(11c)(4)(9)(2:(Eoj+E-j十BE2j)rjo+ool+602)H0(12)EojujoH0(13a)Eojol+EUEOH0(13b)Eoj=j2+Eijiu二十E2二_joH0(13C)(4)(9)(3)eso+$i+6D2)(co+6Ci+gc2)+(Eoj+6E-j+mE2j)(wjo+jl+gwb(co+gc2)一+(Eoj+6E-J+mE2j二Aj(Eoj+厲一j+mE2j)(co+mc2)一H0(14)fDoco+EojFoco)+EOJsjEojco)H0(15a)dDoCi+D-co+EE(ooci+w二co)+E一jrjoco)+Eo二AjEECll+Eo二AjElho1+jEojcoH0(15b)。1995.2004TsinghuaTongfangOplica一DisccotL-dA一一righ-srwwcd.朱志夏等:应用多重尺度法推导浅水波方程和悬沙扩散方程#1995-2004Tsing/ntaTongfangOpticalDiscCo.,Ltd.Allrightsreserved.朱志夏等:应用多重尺度法推导浅水波方程和悬沙扩散方程#DoC2+Z)1C1+D2C0+Eoj(w2+ujC1+WyzCo)+Ej(w；()C1+w；iCo)+2/(wyoCo)+EojAjEo；C2+AjEijC1+AjEijCo十jEojC1+Ai；Co+EijAjE=0(15c)假设G的各阶速度、压力、含沙量分量受潮流、波浪及湍流作用具有相同的量纭，且符合ReynoIds分解形式,那么：2u.k(to,n,/2,Xo,X1,X2)刀如(A),n,t2,Xo,X,X2)=Hoik(0,X0)+llikX(),X1)十U2ik(A),2,X0,X1,X2)(16)2Pk(to9h,/2,Xo,Xl,X2)yPIk(to,fl,t2,XQ,Xi,X2)P(U(A),Xo)+PIktlyXOyX)+P2k(toyty/2,0,X1,X2)2Ck(toyt,Zz,x0,X1,X2)刀6(to,fl,t2,Xo,X1,X2)=Cok(/(),X0)十Ck(A),XOX1)+C2k(toyfl,XyX2)(17)(18)其中，Pl6为以八为周期的周期函数.“纵P心为八尺度的随机函数，且满toTtT22将(16)(18)代入(11)得:D0(Woio+W1/O+U2/0)十Eoj(WO1O+Z/1rO+l/2rO)(MO/0+UljO+W2/0)+pEoi(P00+P10+P20)-XiQ-E0jE0j(MO1O+w1K)+2/0)=0(19a)D0(Oil+Wl/1+W2/1)十DI(U110十l/2o)+Eoj(W()/O+U1/0+W2iO)(llQjl十U1/1十U2j)十(Wo/1+Ui+W2/1)(woyo+W1/0十W2/0)十Ej(U()io十UI/O+lino)(Woyo+wI；0+u2；o)十199