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椭圆及其标准方程一、 学情分析 学生在必修中学过圆锥曲线之一,圆。掌握了圆的定义及圆的标准方程的推导,学生可以用类比的方法来研究中一种圆锥曲线椭圆。二、 教材内容分析 椭圆及其标准方程是人教版教科书(选修)数学1-1第2章圆锥曲线与方程第二节内容。本节在教材中的地位和作用:椭圆及其标准方程在本章节是非常重要的部分,起着总领全章的作用。而圆锥曲线是高考的重点,也是教学的重点。而且本章节的内容和生活实践的联系也比较紧密,是培养学生把数学知识应用到实际生活的能力的重要章节。本章节的教学还有利于培养学生的数形结合的能力。因为椭圆,双曲线以及抛物线有相类似的性质,教学中只要真正的把椭圆的性质讲透了,那其它两部分的教学也就事半功倍了。二、教学设计思想 为了培养不仅能“学会”知识,而且能“会学”知识的人才,在课堂设计上,教师应学会如何创设情景,激发学生学习的兴趣;围绕教材的重难点,比如本节的“椭圆的标准方程及其推导”,教师应学会如何设计不同的活动环节,设置由浅入深、环环相扣的问题,通过教师适时的引导,通过生生间、师生间的交流互动,通过学生自己的发现、分析、探究、反思,使学生真正成为学习的主人,不断完善自己的知识体系,提高获取知识的能力,尝试合作学习的快乐,体验成功的喜悦。三、教学目标(一)知识与技能1、理解椭圆、椭圆的焦点和焦距的定义。2、掌握椭圆标准方程的推导过程。 3、建立直角坐标系,根据椭圆的定义建立椭圆的标准方程。(二)过程与方法通过对椭圆标准方程的推导,是学生进一步掌握求曲线方程的一般方法,并渗透数结合和等价转化的思想方法,提高运用坐标解决几何问题的能力。(三)情感态度、价值观 通过主动探究、合作学习,相互交流,对知识的归纳总结,感受探索的乐趣与成功的喜悦,增强学生学习的信心。四、教学重点和难点重点:椭圆定义的形成和标准方程的推导。难点:椭圆标准方程的推导和化简。关键点:抓住“建立坐标系”和“化简方程”两个环节。教学方法:主要采用探究实践、启发与讲练相结合 五、教学基本流程(一)动手实验,亲身体会阅读教材第43页探究1的内容,按着步骤动手画图(教师巡视指导,展示学生成果)思考1:作图过程中要注意观察椭圆的几何特征,即椭圆上的点要满足怎样的几何条件?思考2:如果调整细绳两端的相对位置,细绳的长度不变,猜想椭圆会发生怎样的变化?师:同学们,看到老师写的标题,大家想知道什么呢?生:椭圆。(有些会说是标准方程,这时老师:是什么的标准方程呢,椭圆)。椭圆椭圆,从字面来看,同学们会想到什么图形呢?师:大家对圆应该不那么陌生吧。请大家告诉我:圆的定义是什么?生:平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹。师: 那么,大家想想,画圆的时候我们有什么工具呢?师生:圆规。师:那画椭圆呢,(稍停顿)有没有椭圆规呢。生:没有椭圆规,还没发明。师:不用椭圆规,这里老师有一个办法可以画出椭圆,请同学们把课前准备的绳子拿出来。并翻到课本23页,按着探究1的步骤动手画一画,待会同学们在画图的过程中,要认真观察你画出来的是什么图形,图形上的点要满足什么条件?下面同桌两个人一组,动动手。师:(教师巡视)两个同学,一个同学把绳子的两端固定好,另一个同学用笔尖把绳子拉紧并在纸上慢慢地移动。师:好,这个小组已经画好了,她们画出来的是什么图形呢?师、生:是一个椭圆。师:还有哪个小组来展示一下自己的成果。.好,大家一起来看看,她们画出的是什么图形?为什么会出现这种现象呢?(二)分析实验,得出规律活动:教师用多媒体演示画图的整个过程,之后与学生探讨在华椭圆的过程中能得到什么规律。(1)在画出一个椭圆的过程中,细绳的两端的位置是固定的还是运动的?(2)在画椭圆的过程中,绳子的长度变了没有?说明了什么?(3)在画椭圆的过程中,绳子长度与两定点距离大小有怎样的关系?(4)改变绳子长度与两定点距离的大小,轨迹又是什么?学生总结规律: 轨迹为椭圆; 轨迹为线段 ; 轨迹不存在。【设计意图】在本环节中并不是急于向学生交待椭圆的定义,而是设计一个实验,一来是为了给学生一个动手实验的机会,让学生体会椭圆上点的运动规律;二是通过实践思考,为进一步上升到理论做准备。师:刚才在画图的过程中,我们发现这两个点(F1、F2)是固定的还是移动的?生:固定的。师:在画椭圆的过程中,绳子的长度变了没有?说明了什么?生:没有变,到两个定点、的距离之和等于常数。师:我们可以另它为2a。我想找一位同学来当我的助手,同学们要认真观察我们画出来的是什么图形。当定长两定点距离的时候会画出来什么图形呢?生:一个椭圆。(板书: 椭圆)师:那如果改变两定点距离的大小,轨迹又是什么呢?生:一条线段。(板书:线段)师:很好,如果绳子的长度n0)则、移项后再平方由MF1+MF2=2a得 移项得 平方得 整理得 再平方得再整理得 师:如果我们把点M放到特殊的位置Y轴上设为M1,连接M1F1和M1F2之后发现M1F1F2是一个等腰三角形,所以这里M1F1=a,M1F2=a,OF2=c,在直角M1OF2中,我们再来看一下这个式子,看到a2-c2就可以联想到什么呢?生:勾股定理。师:所以说,这里可以令b2=a2-c2。好了,我们可以对这个式子再进行进一步的化简,请同学们观察一下的系数之间有什么关系?学生:它们的乘积刚好等于右边的常数。教师:同学们的观察还是非常仔细的。好,所以,我们可以对等式两边同时除以 。 就可以得到这就是焦点在轴上的椭圆的标准方程。师:刚才在建立直角坐标系时,我发现有些同学把F1、F2建在y轴上,以F1F2的中点为原点,那这样也充分利用了椭圆的对称性和简洁性,为什么我们不选择它呢?(稍停顿)其实这样也是可以的,我们只是把x轴和y轴对换了一下,那我们求出的椭圆的标准方程应该是。那这里的椭圆焦点就不在x轴上了,焦点在y轴上。焦点在y轴上得出的方程同学们课后自己去验证一下。师:请同学思考:这里的大小关系如何?对比着两个方程和焦点的位置,考虑一下它们的大小与焦点所在的位置有什么关系?师:(指着直角三角形的各条边进行暗示)显然,且焦点在轴上。所以应该是哪个分母大,焦点就在哪个轴上。【设计意图】让学生自己观察,分析,得出结论,这样不仅能够使他们树立起对自己的信心,更重要的是在潜移默化中,使他们解决数学问题的能力得到了提高。(五)归纳概括,掌握特征(1)椭圆标准方程形式(2)椭圆标准方程中三个参数 , , 的关系(3)椭圆焦点的位置的确定。师:下面我们来对比一下椭圆的两种标准方程,看看他们有什么相同点和不同点,首先我们来看看相同点吧。(1)相同点椭圆标准方程形式:它们都是二元二次方程,左边是两个分式的平方和,右边是1;椭圆标准方程中三个参数 , , 的关系:;椭圆焦点的位
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