每天一练15.1.正方体的棱长为，若动点在线段上运动，则的取值范围是_.2点是棱长为1的正方体的底面上一点，则的取值范围是 A B C DADBCPEFGH3.如图，四边形是正方形，平面， 分别为，的中点（）求证：平面；（）求平面与平面所成锐二面角的大小；（）在线段上是否存在一点,使直线与直线 所成的角为？若存在，求出线段的长；若 不存在，请说明理由.4为提高学生学习数学的兴趣，某地区举办了小学生“数独比赛”.比赛成绩共有90分，70分，60分，40分，30分五种，按本次比赛成绩共分五个等级从参加比赛的学生中随机抽取了30名学生，并把他们的比赛成绩按这五个等级进行了统计，得到如下数据表：成绩等级ABCDE成绩（分）9070604030人数（名）461073（）根据上面的统计数据，试估计从本地区参加“数独比赛”的小学生中任意抽取一人，其成绩等级为“ 或”的概率；（）根据（）的结论，若从该地区参加“数独比赛”的小学生（参赛人数很多）中任选3人，记表示抽到成绩等级为“或”的学生人数，求的分布列及其数学期望；（）从这30名学生中，随机选取2人，求“这两个人的成绩之差大于分”的概率5.已知函数（），.（）求函数的单调区间；（）当时，若对任意，恒成立，求的取值范围. D3.（）证明：因为,分别为，的中点，所以.又平面，平面，所以平面. ADBCPEFGHzyx（）因为平面，所以平面，所以，.又因为四边形是正方形，所以.如图，建立空间直角坐标系，因为,所以， 5分因为， 分别为，的中点，所以，. 所以，.设为平面的一个法向量，则,即，再令，得.,.设为平面的一个法向量,则,即，令，得.所以=.所以平面与平面所成锐二面角的大小为. 9分（）假设在线段上存在一点,使直线与直线所成角为.依题意可设,其中.由,则. 又因为,，所以.因为直线与直线所成角为，所以=，即，解得.所以，.所以在线段上存在一点,使直线与直线所成角为，此时. 4.解：（）根据统计数据可知，从这30名学生中任选一人，分数等级为“或”的频率为 从本地区小学生中任意抽取一人，其“数独比赛”分数等级为“ 或”的概率约为3分（）由已知得，随机变量的可能取值为0，1，2，3 所以；随机变量的分布列为0123 所以 9分（）设事件M：从这30名学生中，随机选取2人，这两个人的成绩之差大于分设从这30名学生中，随机选取2人，记其比赛成绩分别为显然基本事件的总数为不妨设，当时，或或，其基本事件数为；当时，或，其基本事件数为；当时，其基本事件数为；所以所以从这30名学生中，随机选取2人，这两个人的成绩之差大于分的概率为 13分5.解：（）函数的定义域为，.1分当时，当变化时，的变化情况如下表： 所以，函数的单调递增区间是，单调递减区间是，.当时，当变化时，的变化情况如下表： 所以，函数的单调递增区间是，单调递减区间是（）依题意，“当时，对于任意，恒成立”等价于 “当 时，对于任意， 成立”. 当时，由（）知，函数在上单调递增，在上单调递减，因为，所以函数的最小值为.所以应满足. 6分因为，所以. 7分当时，函数，显然不满足，故不成立. 8分当时，令得，.（）当，即时，在上，所以函数在上单调递增， 所以函数. 由得，所以. 10分（）当，即时, 在上，在上，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以.由得，所以. 11分（）当，即时,显然在上，函数在上单调递增，且. 显然不成立，故不成立. 12分综上所述，的取值范围是. 13分