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初中数学因式分解的几种经典方法息县六中 陈岳 因式分解是初中一个重点,它牵涉到分式方程,一元二次方程,所以很有必要学会一些基本的因式分解的方法。下面列举了九种方法,希望对大家的学习能有所帮助。【1】提取公因式 这种方法比较常规、简单,必须掌握。常用的公式有:完全平方公式、平方差公式等例一:-3x=0解:x(2x-3)=0 =0,=3/2这是一类利用因式分解的方程。总结:要发现一个规律就是:当一个方程有一个解x=a时,该式分解后必有一个(x-a)因式这对我们后面的学习有帮助。【2】公式法将式子利用公式来分解,也是比较简单的方法。常用的公式有:完全平方公式、平方差公式等注意:使用公式法前,建议先提取公因式。例二:-4分解因式分析:此题较为简单,可以看出4=2 2,适用平方差公式a 2 -b 2 =(a+b)(a-b) 2解:原式=(x+2)(x-2)【3】十字相乘法是做竞赛题的基本方法,做平时的题目掌握了这个也会很轻松。注意:它不难。这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数的积,把常数项c分解成两个因数的积,并使正好是一次项b,那么可以直接写成结果例三: 把-7x+3分解因式. 分析:先分解二次项系数,分别写在十字交叉线的左上角和左下角,再分解常数项,分别写在十字交叉线的右上角和右下角,然后交叉相乘,求代数和,使其等于一次项系数. 分解二次项系数(只取正因数): 21221; 分解常数项: 3=13=31=(-3)(-1)=(-1)(-3). 用画十字交叉线方法表示下列四种情况: 1 1 2 3 13+21 =5 1 3 2 1 11+23 =7 1 -1 2 -3 1(-3)+2(-1) =-5 1 -3 2 -1 1(-1)+2(-3) =-7 经过观察,第四种情况是正确的,这是因为交叉相乘后,两项代数和恰等于一次项系数7.解 原式=(x-3)(2x-1).总结:对于二次三项式+bx+c(a0),如果二次项系数a可以分解成两个因数之积,即a=,常数项c可以分解成两个因数之积,即c=,把,排列如下: 按斜线交叉相乘,再相加,得到,若它正好等于二次三项式+bx+c的一次项系数b,即=b,那么二次三项式就可以分解为两个因式x+c1与之积,即 +bx+c=(x+)(x+). 这种方法要多实验,多做,多练。它可以包括前两者方法。【4】分组分解法也是比较常规的方法。一般是把式子里的各个部分分开分解,再合起来需要可持续性!例四:可以看出,前面三项可以组成平方,结合后面的负平方,可以用平方差公式解:原式= =(x+2+y)(x+2-y)总结:分组分解法需要前面的方法作基础,可见前面方法的重要性。【5】换元法整体代入,免去繁琐的麻烦,亦是建立的之前的基础上 例五:分解因式考虑到x+y是以整体出现,展开是十分繁琐的,用a代替x+y那么原式=-2a+1 =回代原式=【6】主元法这种方法要难一些,多练即可即把一个字母作为主要的未知数,另一个作为常数 例六:分析:本题尚且属于简单例用,只是稍加难度,以y为主元会使原式极其烦琐,而以x为主元的话,原式的难度就大大降低了。 原式=-【主元法】 =-【十字相乘法】可见,十字相乘十分重要。【7】双十字相乘法难度较之前的方法要提升许多。是用来分解形如的二次六项式 在草稿纸上,将a分解成mn乘积作为一列,c分解成pq乘积作为第二列,f分解成jk乘积作为第三列,如果mqnpb,pkqje,mknjd,即第1,2列和第2,3列都满足十字相乘规则。则原式(mxpyj)(nxqyk)要诀:把缺少的一项当作系数为0,0乘任何数得0, 例七:分解因式解:原式01abab2 (0ab1)(ab2) (b1)(ab2)【8】待定系数法将式子看成方程,将方程的解代入这时就要用到【1】中提到的知识点了当一个方程有一个解x=a时,该式分解后必有一个(x-a)因式例八:+x-2该题可以用十字相乘来做,这里介绍一种待定系数法我们可以把它当方程做,+x-2=0一眼看出,该方程有一根为x=1那么必有一因式为(x-1)结合多项式展开原理,另一因式的常数必为2(因为乘-1要为-2)一次项系数必为1(因为与1相乘要为1)所以另一因式为(x+2)分解为(x-1)(x+2)【9】列竖式让人拍案叫绝的方法。原理和小学的除法差不多。要建立在待定系数法的方程法上不足的项要用0补除的时候,一定要让第一项抵消例九:分解因式提示:x=-1可以使该式=0,有因式(x+1)那么该式分解为(x+1)(+2x-2)因式分解还有许多方法,只是不太常见,就不在此列举了。考虑到每种方法只有一个例题,下面提供一些题目,供大家练习。 xy62x3y(x2)(x3)(x2)(x4)12x229x15x(y2)xy15ax+5bx+3ay+3by12a2b(xy)4ab(yx)(x1)2(3x2)(23x) x211x24 y212y28x24x5 y43y328y2蚊子与牛一样重从前有一只骄傲的蚊子,总认为自己的体重和牛是一样重。有一天,它找到了牛,并说出了体重一样的理由。它认为,可以设自己的体重为a,牛的体重为b,则有:a22abb2=b22aba2左右两边分别因式分解为:(ab)2=(ba)2从而就有:ab=ba移项,得:2a=2b, 即a=b蚊子骄傲地把自己的理由说完,牛睁大了眼睛,听傻了!请同学们想一想,牛和蚊子的体重真的会一样吗?若不一样,那么蚊子的证明究竟错在哪里呢?讲这个例子的目的何在?
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