第八章1、 向量在轴上的投影：性质：（即Prj），其中为向量与轴的夹角； （即PrjPrj+ Prj）； （即PrjPrj）.2、 两个向量的向量积：设，则 = + + = 注：3、 二次曲面（1） 椭圆锥面：；（2） 椭圆抛物面：； （旋转抛物面：（把把面上的抛物线绕轴旋转）（3） 椭球面：； （旋转椭球面：（把面上的椭圆绕轴旋转）（4） 单叶双曲面：； （旋转单叶双曲面：（把面上的双曲线绕轴旋转）（5） 双叶双曲面：； （旋转双叶双曲面：（把面上的双曲线绕轴旋转）（6） 双曲抛物面（马鞍面）：；（7） 椭圆柱面：； 双曲柱面：； 抛物柱面： 4、 平面方程（1） 平面的点法式方程：，其中 是平面上一点，为平面的一个法向量.（2） 平面的一般方程：，其中为平面的一个法向量.注：由平面的一般方程可得平面的一个法向量若=0，则平面过原点；若若（3） 平面的截距式方程：，其中分别叫做平面在轴上的截距.5、 两平面的夹角：特殊： 6、 点到平面的距离公式：7、 空间直线方程（1） 空间直线的一般方程： （2） 空间直线的对称式（点向式）方程：，其中为直线的一个方向向量，为直线上一点（3） 空间直线的参数方程：8、 两直线的夹角： 特殊： 9、 直线与平面的夹角：特殊： 直线与平面平行或在平面内：10、平面束的方程：设直线由方程组所确定，其中不成比例，则平面为通过直线的所有平面（不包含平面）第九章1、内点一定是聚点；边界点不一定是聚点2、二重极限存在是指以任何方式趋于时，都无限接近于A，因此当以不同方式趋于时，趋于不同的值，那么这个函数的极限不存在3、偏导数：求时，只要把其他量看作常量而对求导数； 求时，只要把其他量看作常量而对求导数； 注意：（1）偏导数都存在并不一定连续；（2）为整体，不可拆分； （3）分界点，不连续点处求偏导数要用定义求4、若函数在点可微分，则该函数在点的偏导数、必定存在，且函数在点的全微分为5、若函数的偏导数、在点连续，则函数在该点可微分6、连续,偏导数不一定存在，偏导数存在,不一定连续； 连续,不一定可微，但可微,一定连续； 可微,偏导数一定存在，偏导数存在, 不一定可微； 可微,偏导数不一定都连续；偏导数都连续, 一定可微7、多元复合函数的求导法则： （1）一元函数与多元函数符合的情形：若函数及都在点可导，函数在对应点具有连续偏导数，则复合函数在点可导，且有 （2）多元函数与多元函数复合的情形：若函数及都在点具有对及对的偏导数，函数在对应点具有连续偏导数，则复合函数在点的两个偏导数都存在，且； （3）其他情形：若函数在点具有对及对的偏导数，函数在点可导，函数在对应点具有连续偏导数，则复合函数在点的两个偏导数都存在，且；8、隐函数求导公式：（1）函数：（2）函数：，9、空间曲线的切线与法平面：设空间曲线的参数方程为 为曲线上一点假定上式的三个函数都在上可导，且三个导数不同时为零则向量为曲线在点处的一个切向量，曲线在点处的切线方程为：，法平面方程为：如果空间曲线的方程以的形式给出，则在点处的切线方程为：，法平面方程为：如果空间曲线的方程以的形式给出，则在点处的切线方程为：法平面方程为：10、曲面的切平面与法线：设曲面方程为，为曲面上一点，则曲面在点处的切平面方程为：，法线方程为：11、方向导数：若函数在点可微，那么函数在该点沿任一方向的方向导数存在，且，其中是方向的方向余弦12、梯度：称为函数在点的梯度，记作，即=13、设函数在点具有偏导数，且在点处有极值，则14、设函数在点的某邻域里连续且有一阶及二阶偏导数，又，令，则在点处是否取得极值的条件如下：（1）时具有极值，且当时有极大值，当时有极小值；（2）时没有极值；（3）时可能有极值，也有可能没有极值15、具有二阶连续偏导数的函数的极值求法： 第一步：解方程组，求得一切实数解，即可求得一切驻点； 第二步：对每一个驻点，求出二阶偏导数的值和； 第三步：定出的符号，按14的结论判定是不是极值，是极大值还是极小值 注：上述步骤是求具有二阶连续偏导数的函数得情况下，那么在考虑函数极值时，除了考虑函数的驻点外，如果有偏导数不存在的点，那么对这些点也要考虑16、拉格朗日乘数法：要找函数在附加条件下的可能极值点，可以先作拉格朗日函数，其中为参数.求其对及的一阶偏导数，并使之为零，然后与方程联立起来：，由这方程组解出及，这样得到的就是函数在附加条件下的可能极值点第十章1、二重积分的性质 性质1：设为常数，则.性质2：如果闭区域被有限曲线分为有限个部分闭区域，则在上的二重积分等于在各个部分闭区域上的二重积分之和.（二重积分对于积分区域具有可加性）性质3：如果在上，为的面积，则性质4：如果在上，则有：特殊地，由于则.性质5：设分别是在闭区域上的最大值和最小值，是的面积，则有.性质6（二重积分的中值定理）：设函数在闭区域连续，是的面积，则在上至少存在一点,使得.2、二重积分直角坐标的计算法： （1）若积分区域D可用不等式，（X型）来表示，其中、在区间上连续.则 （2）若积分区域D可用不等式，（Y型）来表示，其中、在区间上连续.则注：确定次序原则：（1） 函数原则：内层积分可以积出；（2） 区域原则；（3） 少分块原则.3、二重积分极坐标的计算法：（极坐标系中的面积元素：）若积分区域D可用不等式，来表示，其中、在区间上连续.则：（详见P145,146）4、确定上下限原则： （1）每层下限小于上限； （2）内层一般是与外层积分变量的有关的函数，也可以是常数； （3）外层一定为常数.5、利用被积函数的奇偶性及积分区域的对称性简化： （1）若积分区域D关于对称，则：，其中 （2）若积分区域D关于对称，则：，其中6、直角坐标三重积分的计算： （1）先一后二：若，闭区域，则：（详见P158,159） （2）先二后一（截面法）： S1：将向某轴投影，如轴，； S2：对，用平行于面的平面截，截出部分记为； S3：计算； S4：计算若空间区域，其中是竖坐标为的平面截闭区域所得到的一个平面闭区域，则：注：适用于被积函数只有一个变量或为常数7、柱面坐标三重积分的计算：；=常数，即以轴为轴的圆柱面；=常数，即过轴的半平面； =常数，即与面平行的平面柱面坐标系中的体积元素：，其中再化为三次积分计算，其中，为沿轴穿线穿过的两个平面方程（个人理解）8、球面坐标三重积分的计算：，球面坐标系中的体积元素：，其中，再化为三次积分计算，其中，为沿轴穿线穿过的两个平面方程（个人理解）典例：求由曲面与所围成立体体积（利用三种坐标系求解）解：表示球心在原点，半径为的球体，表示上半面圆锥体直角坐标：柱面坐标：球面坐标：十一章1、对弧长的曲线积分的计算法：设在曲线弧上有定义且连续，的参数方程为 ，其中，在上具有一阶连续导数，且，则曲线积分存在，且 同理：空间曲线：2、对坐标的曲线积分的计算方法：设、在有向曲线弧上有定义且连续，的参数方程为，当参数单调地由变到时，点从的起点沿运动到终点，在以及为端点的闭区间上具有一阶连续导数，且，则曲线积分存在，且（下限对应于的起点，上限对应于的终点）同理：空间曲线：3、平面曲线上两类曲线积分的联系：，其中为有向曲线弧在点处的切向量方向角，同理：空间曲线上两类曲线积分的联系：4、格林公式：设闭区域D由分段光滑曲线围城，函数及在D上具有一阶连续偏导数，则有，其中是D的取正向的边界曲线注：取，则，左端表示闭区D的面积A的两倍，因此，5、设D为单连通区域，函数及在D上具有一阶连续偏导数，则下列四个命题等价：（1）沿D内任一条光滑曲线有（2）对D内任一条分段光滑曲线曲线积分与路径无关（3）存在，使得（4）在D内没一点都有6、对面积的曲面积分的计算法：7、对坐标的区面积分的计算法：，等式右端符号取决于积分曲面上下侧，等式右端符号取决于积分曲面左右侧，等式右端符号取决于积分曲面前后侧8、两类曲面积分之间的联系：，其中时有向曲面在点处的法向量的方向余弦9、高斯公式：设空间闭区域是由分片光滑的闭曲面所围城的，函数、在上具有一阶连续偏导数，则有：10、斯托克斯公式：设为分段光滑的空间有向闭曲线，是以为边界的分片光滑的有向曲面，的正向与的侧符合右手规则，函数、在曲面（连同边界）上具有一阶连续偏导数，则有：