备战2014高考数学 高频考点归类分析（真题为例）：线性规划高频考点分析 线性规划问题 典型例题: 例1. (2012年四川省理5分)某公司生产甲、乙两种桶装产品。已知生产甲产品1桶需耗原料1千克、A原料2千克;生产乙产品1桶需耗原料2千克，原料1千克。每桶甲产品的利润是300元，每桶BAB乙产品的利润是400元。公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A、B原料都不超过12千克。通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是【 】 A、1800元 B、2400元 C、2800元 D、3100元 【答案】C。 【考点】线性规划的应用。 【解析】设公司每天生产甲种产品X桶，乙种产品Y桶，公司共可获得 利润为Z元/天，则由已知，得 X，2Y,12,2X，Y,12,Z=300X+400Y，且 ,X,0,Y,0,画可行域如图所示，目标函数Z=300X+400Y可变形为 3z,x，Y= 这是随Z变化的一族平行直线， 44002x，y,12,x4,解方程组得，即A(4,4) 。 ,y4,x，2y,12,?。故选C。 Z,，,120016002800max例2. (2012年全国课标卷文5分)已知正三角形ABC的顶点A(1,1)，B(1,3)，顶点C在第一象限，若点(x，y)在?ABC内部，则z=,x+y的取值范围是【 】 (A)(1,3，2) (B)(0，2) (C)(3,1，2) (D)(0，1+3) 【答案】A 【考点】简单线性规划，等边三角形的性质，勾股定理。 【解析】求z=,x+y的取值范围，则求出z=,x+y在正三角形ABC边际及内的区域的最大值和最小值即可。 1+3， 由A(1,1)，B(1,3)，根据正三角形的性质可求C在第一象限的坐标为(2)。 作图，可知约束条件对应正三角形ABC内的区域: A(1,1)，B(1,3)， C(1+3，2)。 当x=1，y=3时，z=,x+y取得最大值2;当1+3，y=2时，z=,x+y取得最小值1,3。 ?z=,x+y的取值范围为(1,3，2)。故选A。 xy,3,xy，,212,212xy，,例3. (2012年四川省文5分)若变量满足约束条件，则的最大值是【 】 xy,zxy,，34,x,0,y,0,A、12 B、26 C、28 D、33 【答案】 C。 【考点】线性规划问题。 【解析】画可行域如图所示， 3zy,x，目标函数可以变形为， zxy,，34443y,x作函数的平行线，当其经过点B(4,4)时截距最43，4，4，4,28大时，即z有最大值为=。故zxy,，34选C。 例4. (2012年山东省理5分)若x,y满足约束条件:x2y2，,，则目标函数z=3xy,的取值范围是【 】 2xy4，,4xy1,223，,， 6,， 1,6， ,16， A B C D ,332，【答案】A。 【考点】线性规划。 3xy0,【解析】如图，作出可行域，直线， 将直线平移至点(2，0)处有最大值:z=320=6,， max131将直线平移至点处有最小值:。 z=33=,(, 3)min2222，,， 6?目标函数的取值范围是。故选A。 z=3xy,3，2x，y,2,0,x,2y，4,0例5. (2012年天津市文5分)设变量满足约束条件,则目标函数z=3x-2y的最小xy，,x,1,0,值为【 】 (A),5 (B),4 (C),2 (D)3 【答案】B。 【考点】线性规划。 3zy,x,【分析】作出不等式对应的可行域如图，由得。 z,3x,2y223z3zy,x,y,x,由图象可知当直线经过点时，直线的C(0,2)2222截距最大， 而此时最小为，故选B。 z,3x,2yz,3x,2y,4x,0,xy，,23例6. (2012年安徽省文5分)若满足约束条件:;则的最小值是【 】 xy,xy,23xy，,3,303 ()A()B()C()D2A【答案】。 【考点】简单线性规划。 xy,xy,【解析】求的取值范围，则求出的最大值和最小值即可。,ABC作图，可知约束条件对应边际及内的区域:3ABC(0,3),(0,),(1,1)。 2,3xy, 当时，取得最小值。 xy,0, 3,3Axy, ?的最小值是。故选。 y,2,xy，,1例7. (2012年广东省理5分)已知变量x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为【 】 ,xy,1,1A(12 B(11 C(3 D( 【答案】B。 【考点】简单线性规划。 y,2,xy，,1【解析】如图，作出变量x，y约束条件的可行域， ,xy,1,y,2,解得最优解(3,2) ,xy,1,x,3,当时，目标函数z=3x+y的最大值为。 z=11,maxy,2,故选B。 xy，,1,xy,1,例8.(2012年广东省文5分)已知变量满足约束条件则的最小值为【 】 xy,zxy,，2,x，,10,3,5,61A( B( C( D 【答案】C。 【考点】简单线性规划。 xy，,1,xy,1【解析】如图，作出变量x，y约束条件的可行域， ,x，,10,x，,10,解得最优解(,1,2) ,xy,1,x,1,当时，目标函数的最小值为zxy,，2,y,2,z=-5。 min故选C。 例9. (2012年江西省理5分)某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50计，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表 年产量/亩 年种植成本/亩 每吨售价 黄瓜 4吨 1.2万元 0.55万元 韭菜 6吨 0.9万元 0.3万元 为使一年的种植总利润(总利润=总销售收入总种植成本)最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位:,亩)分别为【 】 A(50，0 B(30，20 C(20，30 D(0，50 【答案】B。 【考点】建模的思想方法，线性规划知识在实际问题中的应用。 【解析】设黄瓜和韭菜的种植面积分别为x,y亩,总利润为z万元，则目标函数为 . zxxyyxy,，,，,，(0.5541.2)(0.360.9)0.9xy，,50xy，,50,1.20.954xy，,43180xy，,线性约束条件为 ，即。 ,x,0x,0,y,0y,0,xy，,50,43180xy，,如图，作出不等式组表示的可行域,易求得点,x,0,y,0,ABC0,50,30,20, 0,45。 ，B30,20平移直线，可知当直线经过点,即时,z取得最xy，,0.90zxy,，0.9xy,30,20，大值,且(万元)。故选B。 z,48maxxy，,30,x例10. (2012年福建省理5分)若函数图象上存在点(x，y)满足约束条件则实数my,2xy,230 ,xm,的最大值为【 】 13A. B.1 C. D(2 22【答案】B。 【考点】线性规划。 xy，,30,【解析】约束条件确定的区域为如图阴影部分，即 230xy,xm,xy,2?ABC的边与其内部区域，分析可得函数与边界直线xx交与点(1，2)，若函数图象上存在点(x，y)满足约束条件，即图象上存在点在xy，,3=0y,2y,2阴影部分内部，则必有m?1，即实数m的最大值为1。故选B。 xy，,30,例11. (2012年福建省文5分) 若直线上存在点(x，y)满足约束条件则实数m的最yx,2xy,230 ,xm,大值为【 】 3A(,1 B(1 C. D(2 2【答案】B。 【考点】线性规划。 xy，,30,【解析】约束条件确定的区域为如图阴影部分，即 230xy,xm,?ABC的边与其内部区域，分析可得函数与边界直线交yx,2xy，,3=0与点(1，2)，若函数图象上存在点(x，y)满足约束条件，即yx,2yx,2图象上存在点在阴影部分内部，则必有m?1，即实数m的最大值为1。故选B。 x,y,10,0,x，y,20,例12. (2012年辽宁省理5分)设变量x，y满足则的最大值为【 】 2x，3y,0,y,15,(A) 20 (B) 35 (C) 45 (D) 55 【答案】D。 【考点】简单线性规划问题。 【解析】如图，画出可行域: 根据图形可知当x=5,y=15时2x+3y最大，最大值为55。故选D。 xy,，,10,例13. (2012年全国大纲卷理5分)若满足约束条件，则的最小值为 zxy=3,xy，,30xy，,xy，,330,? 。 ,1。 【答案】【考点】线性规划。 【解析】利用不等式组，作出可行域，可知区域表示的为三角形，当目标函数过点(3，0)时，目标函数最大，当目标函数过点(0，1)时最小。 z=301=1，,minxy,0,xy,1xy,例14.(2012年全国课标卷理5分)设满足约束条件:;则zxy,2的取值范围为 ,xy，,3,? 【答案】3,3,。 【考点】简单线性规划。 【解析】求的取值范围，则求出在约束条件下的最zxy,2zxy,2OABC大值和最小值即可。作图，可知约束条件对应四边形边边际及内的区域: 。 OABC(0,0),(0,1),(1,2),(3,0)当时，取得最大值3;当时，xy,3, 0zxy,2xy,1, 2,3取得最小值。 zxy,2?的取值范围为。 zxy,23,3,(4)面积公式:(hc为C边上的高);x,0,(6)直角三角形的外接圆半径,xy，,23例15.(2012年安徽省理5分)若满足约束条件:;则的取值范围为 ? 21世 xy,xy,(一)情感与态度：,23xy，,【答案】。 3,0,【考点】简单线性规划。 的取值范围，则求出的最大值和最小值即可。作图，可【解析】求xy,xy,3,ABC知约束条件对应边际及内的区域:。 ABC(0,3),(0,),(1,1)2当时，xy,取得最大值0;当时，xy,取xy,1, 1xy,0, 3,3得最小值。 二特殊角的三角函数值xy, ?的取值范围为。 3,0,弦心距:从圆心到弦的距离叫做弦心距.xy，,22zyx,例16. (2012年上海市文4分)满足约束条件的目标函数的最小值是 ? ,2【答案】。 如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个,就可推出第三个.【考点】线性规划。 面对新的社会要求，教师与学生应首先走了社会的前边，因此我们应该以新课标要求为指挥棒，采用所有可行的措施，尽量体现以人为本，培养学生创新，开放的思维方式。另一方面注意处理好内容与思想的衔接，内容要在学生上学期的水平之上发展并为以后学习打下基础，思想上注意新思维与我国传统的教学思想结合x,0,x,0,x,0,x,0,y,0,y,0,y,0,y,0,【解析】根据题意得到或或或 ,xy，,22;xy,22;,，,xy22;xy，,22.,一年级有学生 人，通过师生一学期的共同努力，绝大部分部分上课能够专心听讲，积极思考并回答老师提