姓 名： 学 号： 得 分： 教师签名： 离散数学作业5离散数学图论部分形成性考核书面作业本课程形成性考核书面作业共3次，内容主要分别是集合论部分、图论部分、数理逻辑部分的综合练习，基本上是按照考试的题型（除单项选择题外）安排练习题目，目的是通过综合性书面作业，使同学自己检验学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握。本次形考书面作业是第二次作业，大家要认真及时地完成图论部分的综合练习作业。要求：将此作业用A4纸打印出来，手工书写答题，字迹工整，解答题要有解答过程，要求2010年12月5日前完成并上交任课教师（不收电子稿）。并在05任务界面下方点击“保存”和“交卷”按钮，以便教师评分。一、填空题1已知图G中有1个1度结点，2个2度结点，3个3度结点，4个4度结点，则G的边数是 15 2设给定图G(如右由图所示)，则图G的点割集是 f 3设G是一个图，结点集合为V，边集合为E，则G的结点 度数之和 等于边数的两倍4无向图G存在欧拉回路，当且仅当G连通且 等于出度 5设G=是具有n个结点的简单图，若在G中每一对结点度数之和大于等于 n-1 ，则在G中存在一条汉密尔顿路 6若图G=中具有一条汉密尔顿回路，则对于结点集V的每个非空子集S，在G中删除S中的所有结点得到的连通分支数为W，则S中结点数|S|与W满足的关系式为 W(G-V1) V1 7设完全图K有n个结点(n2)，m条边，当 n为奇数 时，K中存在欧拉回路8结点数v与边数e满足 e=v-1 关系的无向连通图就是树9设图G是有6个结点的连通图，结点的总度数为18，则可从G中删去 4 条边后使之变成树10设正则5叉树的树叶数为17，则分支数为i = 5 二、判断说明题（判断下列各题，并说明理由）1如果图G是无向图，且其结点度数均为偶数，则图G存在一条欧拉回路(1) 不正确，缺了一个条件，图G应该是连通图，可以找出一个反例，比如图G是一个有孤立结点的图。2如下图所示的图G存在一条欧拉回路(2) 不正确，图中有奇数度结点，所以不存在是欧拉回路。3如下图所示的图G不是欧拉图而是汉密尔顿图 G 解：正确因为图中结点a，b，d，f的度数都为奇数，所以不是欧拉图。如果我们沿着(a,d,g,f,e,b,c,a)，这样除起点和终点是a外，我们经过每个点一次仅一次，所以存在一条汉密尔顿回路，是汉密尔顿图4设G是一个有7个结点16条边的连通图，则G为平面图解：(1) 错误假设图G是连通的平面图，根据定理，结点数v，边数为e，应满足e小于等于3v-6，但现在16小于等于3*7-6，显示不成立。所以假设错误。 5设G是一个连通平面图，且有6个结点11条边，则G有7个面(2) 正确根据欧拉定理，有v-e+r=2，边数v=11，结点数e=6，代入公式求出面数r=7三、计算题1设G=，V= v1，v2，v3，v4，v5，E= (v1,v3)，(v2,v3)，(v2,v4)，(v3,v4)，(v3,v5)，(v4,v5) ，试(1) 给出G的图形表示； (2) 写出其邻接矩阵；(3) 求出每个结点的度数； (4) 画出其补图的图形解：(1)oooov1ov5v2v3v4(2) 邻接矩阵为(3) v1结点度数为1，v2结点度数为2，v3结点度数为3，v4结点度数为2，v5结点度数为2(4) 补图图形为oooov1ov5v2v3v42图G=，其中V= a, b, c, d, e，E= (a, b), (a, c), (a, e), (b, d), (b, e), (c, e), (c, d), (d, e) ，对应边的权值依次为2、1、2、3、6、1、4及5，试（1）画出G的图形； （2）写出G的邻接矩阵；（3）求出G权最小的生成树及其权值（1）G的图形如下：（2）写出G的邻接矩阵（3）G权最小的生成树及其权值3已知带权图G如右图所示 (1) 求图G的最小生成树； (2)计算该生成树的权值解：(1) 最小生成树为12357(2) 该生成树的权值为(1+2+3+5+7)=184设有一组权为2, 3, 5, 7, 17, 31，试画出相应的最优二叉树，计算该最优二叉树的权35251071731173465权为 2*5+3*5+5*4+7*3+17*2+31=131四、证明题1设G是一个n阶无向简单图，n是大于等于3的奇数证明图G与它的补图中的奇数度顶点个数相等证明：设，则是由n阶无向完全图的边删去E所得到的所以对于任意结点，u在G和中的度数之和等于u在中的度数由于n是大于等于3的奇数，从而的每个结点都是偶数度的（度），于是若在G中是奇数度结点，则它在中也是奇数度结点故图G与它的补图中的奇数度结点个数相等2设连通图G有k个奇数度的结点，证明在图G中至少要添加条边才能使其成为欧拉图证明：由定理3.1.2，任何图中度数为奇数的结点必是偶数，可知k是偶数又根据定理4.1.1的推论，图G是欧拉图的充分必要条件是图G不含奇数度结点因此只要在每对奇数度结点之间各加一条边，使图G的所有结点的度数变为偶数，成为欧拉图故最少要加条边到图G才能使其成为欧拉图