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新教材适用高中必修数学数学必修5(人教A版)1.2.2 空间距离问题基础达标1江岸边有一炮台高30米,江中有两条船,由炮台顶部侧得俯角分别为45和60,而且两条船与炮台底部连线成30角,则两条船相距()A10米 B100米B20米 D30米解析:设炮台顶部为A,两条船分别为B、C,炮台底部为D,如图,可知BAD45,CAD60,BDC30,AD30.分别在RtADB,RtADC中,求得DB30,DC30.在DBC中,由余弦定理得BC2DB2DC22DBDCcos 30,解得BC30.答案:D2.飞机沿水平方向飞行,在A处测得正前下方地面固定目标C的俯角为30,向前飞行10 000米,到达B处,此时测得正前下方地面目标C的俯角为75,这时飞机与地面目标的水平距离为()A2500(1)米 B2500(1)米C.4000米 D4000 米解析:如下图所示,CD为AB边上的高,BD即为飞机与目标C的水平距离由外角定理,ACB753045.在ABC中,由正弦定理得:,BC5 000.又在RtACD中,BDBCcos 755 000()2 500(1)注:cos 75()答案:B3在200 m的山顶上,测得山下一塔塔顶与塔底的俯角分别为30,60,则塔高为()A. m B. mC. m D. m解析:如下图所示,由题意知PBC60,ABP906030,又BPA603030,ABPA.又在RtPBC中,BC200tan 30,在RtPAD中,PA.PAAB,AB.故选A.答案:A4海上有A、B两个小岛相距10海里,从A岛望C岛和B岛成60的视角,从B岛望C岛和A岛成75视角,则B、C间的距离是()A10海里 B.海里C5海里 D5海里解析:在ABC中,C180607545,由正弦定理得:,BC5.故选D.答案:D5在一座20 m高的观测台测得对面一水塔塔顶的仰角为60,塔底的俯角为45,观测台底部与塔底在同一地平面,那么这座水塔的高度是_m.答案:20(1)巩固提高6如右图所示,为测一树的高度,在地面上选取A、B两点,从A、B两点分别测得树梢的仰角为30、45,且A、B两点之间的距离为60 m,则树的高度h为()A(3030)m B(3015)mC(1530)m D(153)m答案:A7一蜘蛛沿东北方向爬行x cm捕捉到一只小虫,然后向右转105,爬行10 cm捕捉到另一只小虫,这时它向右转135爬行可回到它的出发点,那么x_cm.解析:如下图所示,在ABC中,ABx,BC10,ABC18010575,BCA18013545.BAC180754560.由正弦定理得:,x.答案:8(2013陕西卷)设ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcos Cccos Basin A,则ABC的形状为()A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D不确定解析:因为bcos Cccos Basin A,所以sin Bcos Csin Ccos Bsin Asin A,又sin Bcos Csin Ccos Bsin(BC)sin A联立两式得sin Asin Asin A.所以sin A1,A,选B.答案:B9为测某塔AB的高度,在一幢与塔AB相距30 m的楼的楼顶C处测得塔顶A的仰角为30,测得塔基B的俯角为45,则塔AB的高度为多少米?解析:如下图所示,依题意ACE30,ECB45,DB30,所以CE30,BE30,AE10,所以AB(3010)米10.在某海滨城市附近海面有一台风,据监测,当前台风中心位于城市O(如右图所示)的东偏南方向300 km的海面P处,并以20 km/h的速度向西偏北45方向移动,台风侵袭的范围为圆形区域,当前半径为60 km,并以10 km/h的速度不断增大,问几小时后该城市开始受到台风的侵袭?受到台风的侵袭的时间有多少小时?解析:设经过t小时台风中心移动到Q点时,台风边沿恰经过O城,由题意可得:OP300,PQ20t,OQr(t)6010t,OPQ.因为cos ,45,所以sin ,cos , 由余弦定理可得:OQ2OP2PQ22OPPQcos , 即(6010t)23002(20t)2230020t,即t236t2880,解得:t112,t224,t2t112,答:12小时后该城市开始受到台风侵袭,受到台风侵袭的时间有12小时 1.利用正弦定理和余弦定理来解空间距离问题时,要学会审题及根据题意画方位图,要懂得从所给的背景资料中进行加工、抽取主要因素,进行适当的简化2测量高度的一般方法是选择能观察到测量物体的两点,分别测量仰角或俯角,同时测量出两个观测点的距离,再利用解三角形的方法进行计算.
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