精品资料1过椭圆1的左焦点引一条直线与椭圆自上而下交于A、B两点，若FA2FB，求直线l的斜率【解】椭圆1中，a5，b3，c4，所以e，p.取椭圆的左焦点为极点，x轴正方向为极轴正方向，建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程为.设A(1，)、B(2，)由题设得122.于是2，解得cos ，所以tan ，即直线l的斜率为.2已知椭圆方程为，过左焦点引弦AB，已知AB8，求AOB的面积【解】如图，设A(1，)、B(2，)所以12.因为AB8，所以8，所以cos2，sin .由椭圆方程知e，则c3.SAOBSAOFSBOFOF1sin OF2sin 8.图4243如图424，过抛物线y22px(p0)的焦点F的弦AB与x轴斜交，M为AB的中点，MNAB，并交对称轴于N.求证：MN2AFBF.【证明】取F为极点，Fx为极轴建立极坐标系，则抛物线的极坐标方程为.设A(1，)、B(2，)，则AFBF.不妨设0，则MF(12)().所以MNMFtan tan .所以MN2AFBF.图4254如图425，已知圆F：x2y24x0，抛物线G的顶点是坐标系的原点，焦点是已知圆的圆心F，过圆心且倾斜角为的直线l与抛物线G、圆F从上至下顺次交于A、B、C、D四点(1)当直线的斜率为2时，求ABCD；(2)当为何值时，ABCD有最小值？并求这个最小值【解】圆F：x2y24x0的圆心坐标为(2,0)，半径为2，所以抛物线的焦点到准线的距离为4.以圆心F为极点，Fx为极轴建立极坐标系则圆F的坐标方程为2，抛物线G的极坐标方程为.设A(1，)、D(2，)，所以ABAF2，CDFD2，即ABCDAFFD41244444.(1)由题意，得tan 2，所以sin2.所以ABCD46.(2)ABCD4，当sin21，即时ABF2的面积取到最小值4.5已知抛物线，过焦点作互相垂直的极径FA、FB，求FAB的面积的最小值【解】设A(1，)、B，则1，2.FAB的面积为S12.设tsin cos ，则sin cos .所以1cos sin sin cos 1t(t1)2.又tsin cos sin，所以当t，即时，FAB的面积S有最小值.6已知椭圆C的中心在原点，焦点F1、F2在x轴上，点P为椭圆短轴的一个顶点，且F1PF290.(1)求椭圆C的离心率；(2)若直线l过左焦点F1与椭圆交于A、B两点，且ABF2的面积的最大值为12，求椭圆C的方程【解】(1)因为F1PF290，所以PFPFF1F，即a2a24c2.所以e.(2)以椭圆的左焦点F1为极点，Fx为极轴建立极坐标系，设椭圆的方程为.设A(1，)、B(2，)，则ABAFFB12.因为F1F22c，所以ABF2的边AB上的高h为2c|sin |，ABF2的面积SABh.因为|sin |2，所以当|sin |1，即或时S取到最大值所以当l过左焦点且垂直于极轴时，ABF2的面积取到最大值pc，所以pc12，即b26.故a2c26.又，所以a212，c26.所求椭圆的方程为1.7已知椭圆1，直线l：1，P是l上一点，射线OP交椭圆于R，又点Q在OP上，且满足|OQ|OP|OR|2，当点P在l上移动时，求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线【解】如图，以O为极点，Ox为极轴，建立极坐标系，则：椭圆的极坐标方程为2，直线l的极坐标方程.由于点Q、R、P在同一射线上，可设点Q、R、P的极坐标分别为(，)、(1，)、(2，)，依题意，得，2.由|OQ|OP|OR|2得2(0)将代入，得，则(0)这就是点Q的轨迹的极坐标方程，化为直角坐标方程，得2x23y24x6y，即1(x、y不同时为0)点Q的轨迹为以(1,1)为中心，长轴平行于x轴，长、短半轴长分别为，的椭圆(去掉坐标原点)教师备选8建立极坐标系证明：已知半圆直径|AB|2r(r0)，半圆外一条直线l与AB所在直线垂直相交于点T，并且|AT|2a(2a)若半圆上相异两点M，N到l的距离|MP|、|NQ|满足|MP|：|MA|NQ|：|NA|1，则|MA|NA|AB|.【证明】法一以A为极点，射线AB为极轴建立直角坐标系，则半圆的极坐标方程为2rcos ，设M(1，1)，N(2，2)，则12rcos 1，22rcos 2，又|MP|2a1cos 12a2rcos21，|NQ|2a2cos 22a2rcos22，|MP|2a2rcos212rcos1，|NQ|2a2rcos222rcos 2，cos 1，cos 2是方程rcos2rcos a0的两个根，由韦达定理：cos 1cos 21，|MA|NA|2rcos 12rcos 22r|AB|.法二以A为极点，射线AB为极轴建立直角坐标系，则半圆的极坐标方程为2rcos ，设M(1，1)，N(2，2)，又由题意知，M(1，1)，N(2，2)在抛物线上，2rcos ，rcos2rcos a0，cos 1，cos 2是方程rcos2rcos a0的两个根，由韦达定理：cos 1cos 21，得|MA|NA|2rcos 12rcos 22r|AB|.