广东省肇庆市20xx届高三4月第二次模拟数 学（理科）本试卷共4页，21小题，满分150分. 考试用时120分钟.注意事项：1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔，将自己所在县（市、区）、姓名、试室号、座位号填写在答题卷上对应位置，再用2B铅笔将准考证号涂黑.2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能写在试卷上或草稿纸上.3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应的位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案无效.参考公式：锥体的体积公式，其中S为锥体的底面积，为锥体的高.列联表随机变量. 与k对应值表：0.100.050.0250.0100.0050.001k2.7063.8415.0246.6357.87910.828一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1若复数是纯虚数（是虚数单位），则实数A B3 C1 D1或2已知集合，若，则实数A2 B C D 3图1分别是甲、乙、丙三种品牌手表日走时误差分布的正态分布密度曲线，则下列说法不正确的是A三种品牌的手表日走时误差的均值相等；B三种品牌的手表日走时误差的均值从大到小依次为甲、乙、丙；C三种品牌的手表日走时误差的方差从小到大依次为甲、乙、丙；D三种品牌手表中甲品牌的质量最好4若如图2所示的程序框图输出的S是，则在判断框中M表示的“条件”应该是A BC D5已知向量，则“且”是“”的 A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件6已知某几何体的三视图（单位：cm）如图3所示，则该几何体的体积是A B30C40 D427已知实数，函数，若，则的值为A B C D8设有一组圆：. 下列四个命题：存在一条定直线与所有的圆均相切； 存在一条定直线与所有的圆均相交；存在一条定直线与所有的圆均不相交； 所有的圆均不经过原点.其中真命题的个数为A1 B2 C3 D4二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分. （一）必做题（913题）9已知等比数列满足，则 .10不等式的解集为 .11若双曲线的渐近线方程是，则双曲线的离心率等于 .12在的展开式中，的系数为 .13直角坐标系xOy中，已知两定点A（1，0），B（1，1）动点满足，则点构成的区域的面积等于 .（ ） 14（坐标系与参数方程选做题）已知C的参数方程为(为参数)，C在点（0，3）处的切线为l，若以直角坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l的极坐标方程为 .15.（几何证明选讲选做题）如图4，在中，AB=BC，圆O是的外接圆，过点C的切线交AB的延长线于点D， BD=4，则AC的长等于 三、解答题：本大题共6小题，满分80分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.（本小题满分12分）已知锐角ABC的面积等于，且AB=3，AC=4.（1）求的值；（2）求的值.17.（本小题满分12分）为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，在我市某普通中学高中生中随机抽取200名学生，得到如下列联表：喜欢数学课不喜欢数学课合计男306090女2090110合计50150200（1）根据独立性检验的基本思想，约有多大的把握认为“性别与喜欢数学课之间有关系”？（2）若采用分层抽样的方法从不喜欢数学课的学生中随机抽取5人，则男生和女生抽取的人数分别是多少？（3）从（2）随机抽取的5人中再随机抽取3人，该3人中女生的人数记为，求的数学期望.18.（本小题满分14分）如图5，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的菱形，且DAB=60. 侧面PAD为正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD，G为AD边的中点.（1）求证：BG平面PAD；（2）求平面PBG与平面PCD所成二面角的平面角的余弦值；（3）若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF平面ABCD，并证明你的结论.19.（本小题满分14分）如图6，圆，P是圆C上的任意一动点，A点坐标为（2，0），线段PA的垂直平分线l与半径CP交于点Q.（1）求点Q的轨迹G的方程；（2）已知B，D是轨迹G上不同的两个任意点，M为BD的中点. 若M的坐标为M（2，1），求直线BD所在的直线方程；若BD不经过原点，且不垂直于x轴，点O为轨迹G的中心. 求证：直线BD和直线OM的斜率之积是常数（定值）.20.（本小题满分14分）已知正项数列满足（）.（1）证明：；（2）证明：；（3）证明：.21（本小题满分14分）已知函数，（1）若a=1，判断函数是否存在极值，若存在，求出极值；若不存在，说明理由；（2）求函数的单调区间；（3）设函数若至少存在一个，使得成立，求实数a的取值范围数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题题号12345678答案ADBCADCB8题解析：圆的圆心（k-1，3k）在直线y=3（x+1）上运动，因此存在定直线y=3（x+1）与所有的圆均相交；因圆的半径在变化，故错，正确.对于：假设存在某个圆经过原点，则（*），下面转化为这个关于k的方程是否有正整数解，可以从k的奇偶性分析：若k为奇数，则k-1为偶数，3k为奇数，于是为偶数，为奇数，从而方程（*）的左边为奇数，但方程（*）的右边为偶数，矛盾！若k为偶数，则k-1为奇数，3k为偶数，于是为奇数，为偶数，从而方程（*）的左边为奇数，但方程（*）的右边为偶数，矛盾！综上知，假设不成立，故正确. 二、填空题9 10-3，1 11 12134 14 1513题解析：由，得设M（s，t），则，解得，由，得.三、解答题16.（本小题满分12分）解：（1）， （2分）. （3分）又ABC是锐角三角形， （4分）. （5分）（2）由余弦定理 （7分） （8分）由正弦定理得， （9分）又B为锐角，得. （10分） （11分） （12分）17.（本小题满分12分）解：（1）， （2分）约有97.5%以上的把握认为“性别与喜欢数学课之间有关系”. （4分）（2）男生抽取的人数有：（人） （5分）女生抽取的人数各有：（人） （6分）（3）由（2）可知，男生抽取的人数为2人，女生抽取的人数为3人，所以的取值为1，2，3. （7分），所以的分布列为：123（10分）所以的数学期望为 （12分）18.（本小题满分14分）（1）证明：连结BD. 因为ABCD为棱形，且DAB=60，所以DABD为正三角形. （1分）又G为AD的中点，所以BGAD. （2分）又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD， （3分）BG平面PAD. （4分）解：（2）PAD为正三角形，G为AD的中点，PGAD.PG平面PAD，由（1）可得：PGGB. 又由（1）知BGAD.PG、BG、AD两两垂直. （5分）故以G为原点，建立如图所示空间直角坐标系， （6分）所以， ， ， （7分）设平面PCD的法向量为， 即 令，则 （8分）又平面PBG的法向量可为， （9分）设平面PBG与平面PCD所成二面角的平面角为，则即平面PBG与平面PCD所成二面角的平面角的余弦值为. （10分）（3）当F为PC的中点时，平面DEF平面ABCD. （11分）取PC的中点F，连结DE，EF，DF，CG，且DE与CG相交于H.因为E、G分别为BC、AD的中点，所以四边形CDGE为平行四边形，故H为CG的中点. 又F为CP的中点，所以FH/PG. （12分）由（2），得PG平面ABCD，所以FH平面ABCD. （13分）又FH平面DEF，所以平面DEF平面ABCD. （14分）19.（本小题满分14分）解：（1）圆C的圆心为C（-2，0），半径r=6，. （1分）连结，由已知得， （2分）所以. （3分）根据椭圆的定义，点Q的轨迹G是中心在原点，以C、A为焦点，长轴长等于的椭圆，即a=3，c=2， （4分）所以，点Q的轨迹G的方程为. （5分）（2）设B、D的坐标分别为、，则