第四节 平面曲线的弧长分布图示 平面曲线弧长的概念 直角坐标情形 例1 例2 参数方程情形 例3 例4 例5 例6 极坐标情形 例7 例8 内容小结 课堂练习 习题6-4 返回内容要点 一、平面曲线弧长的概念 二、平面曲线的弧长的计算直角坐标情形：，弧长微元（弧微分），所求光滑曲线的弧长 (4.1)参数方程情形：，弧长微元所求光滑曲线的弧长 (4.3)极坐标情形： 弧长微元 所求光滑曲线的弧长 (4.4)例题选讲平面曲线的弧长的计算例1 (E02) 求曲线上相应于从到的一段弧的长度.解 弧长微元:所求弧长: 例2 (E03) 两根电线杆之间的电线,由于其本身的重量，下垂成曲线形. 这样的曲线叫悬链线. 适当选取坐标系后，悬链线的方程为, 其中为常数. 计算悬链线上介于与之间一段弧的长度.解 如图，由于对称性，要计算弧长为相应于从到的一段曲线弧长的两倍.弧长微元: 故所求弧长为 例3 (E01) 求圆的周长.解 如图，将圆的方程化为参数方程则所求圆周长例4 (E04) 求星形线的全长.解 由图形（如图）的对称性可知，星形线的全长为其在第一象限部分的4倍,则由弧长公式得例5 求摆线 一支的弧长.解 由弧长计算公式，得例6 证明正弦线的弧长等于椭圆 的周长.证 设正弦线的弧长为则设椭圆的周长为则（利用椭圆的对称性）故原结论成立.例7 求极坐标系下曲线的长.解 例8 (E05) 求心形线的全长.解 如图(见系统演示)，此心形线关于极轴对称.课堂练习1.计算曲线的弧长2.求阿基米德螺线 上相应于从0到的弧长.