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第5章 第3节一、选择题 1(2020湖南理)在RtABC中,C90,AC4,则等于()A16 B8 C8 D16答案D 解析因为C90,所以0,所以()()216.2(2020广东文)若向量a(1,1),b(2,5),c(3,x),满足条件(8ab)c30,则x()A6 B5 C4 D3答案C解析本题考查了向量的基本坐标运算及内积定义,把向量问题转化为坐标问题,(8ab)c183x30.x4.故选C.3(2020重庆理)已知|a|1,|b|6,a(ba)2,则向量a与b的夹角是()A. B. C. D.答案C解析考查向量的运算以及两个向量夹角的求法a(ba)aba2|a|b|cosa,b|a|26cosa,b12,cosa,b,故a与b的夹角为.4(2020辽宁理)平面向量a与b的夹角为60,a(2,0),|b|1,则|a2b|()A. B2 C4 D12答案B解析考查向量的数量积的定义及性质a(2,0),|a|2,|a2b|2|a|24|b|24ab44421cos6012,|a2b|2,选B.5(2020全国理)已知a、b、c是单位向量,且ab0,则(ac)(bc)的最小值为()A2 B.2 C1 D1答案D解析本题考查数量积的运算(ac)(bc)abaccbc20(ab)c11(ab)c1|ab|c|cosab,c11cosab,c最小值为1,即ab与c同向共线时取得最小值6在ABC中,3,ABC的面积S,则与夹角的取值范围是()A. B.C. D.答案B解析sin,sin,S|sin,又|cos,3,|.将代入得tan,又两向量夹角的范围为0,故选B.7(2020北京理)a、b为非零向量,“ab”是“函数f(x)(xab)(xba)为一次函数”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件答案B解析f(x)(xab)(xba)(ab)x2(|b|2|a|2)xab,若ab,则有ab0,如果同时有|b|a|,则函数恒为0,不是一次函数,因此不充分,而如果f(x)为一次函数,则ab0,因此可得ab,故该条件必要8已知向量ae,|e|1,对任意tR,恒有|ate|ae|,则()Aae Ba(ae)Ce(ae) D(ae)(ae)答案C解析由条件可知|ate|2|ae|2对tR恒成立,又|e|1,t22aet2ae10对tR恒成立,即4(ae)28ae40恒成立(ae1)20恒成立,而(ae1)20,ae10.即ae1e2,e(ae)0,即e(ae)二、填空题9已知A(,0),B(0,1),坐标原点O在直线AB上的射影为点C,则_.答案解析由射影定理求出|,与成角60,|cos60.10(2020江西理)已知向量a,b满足|a|1,|b|2,a与b的夹角为60,则|ab|_.答案解析|ab|2|a|22ab|b|21212cos 6043,则|ab|,11已知向量m(sin,2cos),n,当0,时,函数f()mn的值域为_答案1,2解析由f()mn,得f()sincos2sin,0,f()的值域为1,2三、解答题12(2020江苏)设向量a(4cos,sin),b(sin,4cos),c(cos,4sin)(1)若a与b2c垂直,求tan()的值;(2)求|bc|的最大值;(3)若tantan16,求证:ab.解析本题主要考查了向量的平行、垂直和向量的模;考查了三角函数公式和学生的运算能力(1)a(4cos,sin),b(sin,4cos),c(cos,4sin)由a与b2c垂直,得a(b2c)ab2ac04sin()8cos()0,tan()2.(2)由bc(sincos,4cos4sin)|bc|2sin22sincoscos216cos232cossin16sin21730sincos1715sin2,最大值为32,|bc|的最大值为4.(3)由tantan16得sinsin16coscos即4cos4cossinsin0,ab.13已知向量(cosx,sinx),(sinx,sinx),定义函数f(x).(1)求f(x)的最小正周期和最大值及相应的x值;(2)当时,求x的值解析(1)f(x)sinxcosxsin2xsin2x(1cos2x)sin,周期T.由2x2k得xk(kZ),当xk(kZ)时,f(x)取最大值.(2)当时,f(x)0,即sin0.解得xk或k,kZ.点评向量知识与三角、数列、不等式、解析几何、函数等的结合是高考命题的主要方向,向量平行或垂直的条件是结合的主要方面14在平行四边形ABCD中,A(1,1),(6,0),点M是线段AB的中点,线段CM与BD交于点P.(1)若(3,5),求点C的坐标(2)当|时,求点P的轨迹解析(1)设点C的坐标为(x0,y0)(3,5)(6,0)(9,5),即(x01,y01)(9,5),x010,y06,即点C的坐标为(10,6)(2)设P(x,y),则(x1,y1)(6,0)(x7,y1),33()3(3(x1),3(y1)(6,0)(3x9,3y3)|,平行四边形ABCD为菱形,(x7)(3x9)(y1)(3y3)0,x2y210x2y220(y1)故点P的轨迹是以(5,1)为圆心,2为半径的圆去掉与直线y1的两个交点15已知向量a(x2,x1),b(1x,t)若函数f(x)ab在区间(1,1)上是增函数,求t的取值范围分析先求出f(x)的表达式,然后利用导数与函数单调性的关系及增函数的性质求解,注意x的取值范围解析因为f(x)abx2(1x)t(x1)x3x2txt,所以f(x)3x22xt.若f(x)在(1,1)上是增函数, 则在(1,1)上f(x)0, 所以f(x)0t5. 而当t5时,f(x)在(1,1)上满足f(x)0, 即若f(x)在(1,1)上是增函数,则t的取值范围为5,)
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