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2019人教版精品教学资料高中选修数学课时作业17数学归纳法|基础巩固|(25分钟,60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1用数学归纳法证明“凸n边形的内角和等于(n2)”时,归纳奠基中n0的取值应为()A1B2C3 D4解析:边数最少的凸n边形为三角形,故n03.答案:C2用数学归纳法证明123n2,则当nk1时左端应在nk的基础上加上()Ak21B(k1)2C.D(k21)(k22)(k1)2解析:当nk时,左端123k2,当nk1时,左端123k2(k21)(k22)(k1)2,故当nk1时,左端应在nk的基础上加上(k21)(k22)(k1)2,故选D.答案:D3用数学归纳法证明“当n为正奇数时,xnyn能被xy整除”的第二步是()A假设n2k1时正确,再推n2k3时正确(kN*)B假设n2k1时正确,再推n2k1时正确(kN*)C假设nk时正确,再推nk1时正确(kN*)D假设nk(k1)时正确,再推nk2时正确(kN*)解析:nN*且为奇数,由假设n2k1(nN*)时成立推证出n2k1(kN*)时成立,就完成了归纳递推答案:B4若命题A(n)(nN*)nk(kN*)时命题成立,则有nk1时命题成立现知命题对nn0(n0N*)时命题成立则有()A命题对所有正整数都成立B命题对小于n0的正整数不成立,对大于或等于n0的正整数都成立C命题对小于n0的正整数成立与否不能确定,对大于或等于n0的正整数都成立D以上说法都不正确解析:由题意知nn0时命题成立能推出nn01时命题成立,由nn01时命题成立,又推出nn02时命题也成立,所以对大于或等于n0的正整数命题都成立,而对小于n0的正整数命题是否成立不确定答案:C5k棱柱有f(k)个对角面,则(k1)棱柱的对角面个数f(k1)为(k3,kN*)()Af(k)k1 Bf(k)k1Cf(k)k Df(k)k2解析:三棱柱有0个对角面,四棱柱有2个对角面(020(31);五棱柱有5个对角面(232(41);六棱柱有9个对角面(545(51)猜想:若k棱柱有f(k)个对角面,则(k1)棱柱有f(k)k1个对角面答案:A二、填空题(每小题5分,共15分)6用数学归纳法证明.假设nk时,不等式成立,则当nk1时,应推证的目标不等式是_解析:观察不等式左边的分母可知,由nk到nk1左边多出了这一项答案:7对任意nN*,34n2a2n1都能被14整除,则最小的自然数a_.解析:当n1时,36a3能被14整除的数为a3或5;当a3且n2时,31035不能被14整除,故a5.答案:58用数学归纳法证明12222n12n1(nN)的过程如下:当n1时,左边1,右边2111,等式成立假设当nk时,等式成立,即12222k12k1,则当nk1时,12222k12k2k11,所以,当nk1时等式成立由此可知,对任何nN,等式都成立上述证明错误的是_解析:用数学归纳法证明问题一定要注意,在证明nk1时要用到假设nk的结论,所以错误答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9用数学归纳法证明:159(4n3)(2n1)n.证明:当n1时,左边1,右边1,命题成立假设nk(k1,kN*)时,命题成立,即159(4k3)k(2k1)则当nk1时,左边159(4k3)(4k1)k(2k1)(4k1)2k23k1(2k1)(k1)2(k1)1(k1)右边,当nk1时,命题成立由知,对一切nN*,命题成立10求证:1(nN*)证明:当n1时,左边1,右边,所以不等式成立假设当nk(k1,kN*)时不等式成立,即1.则当nk1时,12k1.当nk1时,不等式成立由可知1(nN*)成立|能力提升|(20分钟,40分)11已知123332433n3n13n(nab)对一切nN*都成立,那么a,b的值为()Aa,bBabCa0,bDa,b解析:法一:特值验证法,将各选项中a,b的值代入原式,令n1,2验证,易知选A.法二:因为123332433n3n13n(nab)对一切nN*都成立,所以当n1,2时有即解得答案:A12用数学归纳法证明“当nN*时,求证:12222325n1是31的倍数”时,当n1时,原式为_,从nk到nk1时需增添的项是_解析:当n1时,原式应加到251124,所以原式为12222324,从nk到nk1时需添25k25k125(k1)1.答案:1222232425k25k125k225k325k413平面内有n(n2,nN*)条直线,其中任何两条均不平行,任何三条均不共点,证明:交点的个数f(n).证明:(1)当n2时,两条直线有一个交点,f(2)1,命题成立(2)假设当nk(k2,kN*)时,命题成立,即f(k).那么当nk1时,第k1条直线与前k条直线均有一个交点,即新增k个交点,所以f(k1)f(k)kk,即当nk1时命题也成立根据(1)和(2),可知命题对任何n2,nN*都成立14已知数列an中,a15,Sn1an(n2且nN*)(1)求a2,a3,a4并由此猜想an的表达式(2)用数学归纳法证明an的通项公式解析:(1)a2S1a15,a3S2a1a210,a4S3a1a2a320.猜想:an52n2(n2,nN*)(2)当n2时,a252225成立假设当nk时猜想成立,即ak52k2(k2且kN*)则nk1时,ak1Ska1a2ak551052k2552k1.故当nk1时,猜想也成立由可知,对n2且nN*.都有an52n2.于是数列an的通项公式为an
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