拓扑空间的性质王强07级2班07020048拓扑学是研究几何图形的，点集拓扑学研究图形之间的一种较强 的连续变换，即拓扑变换。定义1：拓扑空间设X是一个集合，若丁是X的一个子集族。若果丁满足如下条件： X, EJ；若 A, BE /，u ACBEJ；若/ /， IJUAE/AE/,则称/是X的一个拓扑。若果/是集合X的一个拓扑，则称偶对（X,/ ）是一个拓扑空间， 或称集合X是一个相对于拓扑/而言的拓扑空间；或者当拓扑/早已 约定或在行文中已有说明而无须指出是，称集合X是一个拓扑空间。 此外/的每一个元素都叫做拓扑空间（X，/）（或X）中的一个开集。 定义2：设（X，p ）是一个度量空间。令/为由X中的所有开集构 成的集族。（X，/ ）是X的一个拓扑。我们称/为X的由度量p诱导 出来的拓扑。此外我们约定：如果没有另外的说明，我们提到度量空 间（X，p ）的拓扑时，指的就是拓扑/ ；在称度量空间（X，p ） 为拓扑空间时，指的就是拓扑空间（X，/）。例1平庸空间设X是一个集合。令/=X，（P 。容易验证，/是X的一个拓扑，称 之为X的平庸空间；并且我们称拓扑空间（X，/）为一个平庸空间。 在平庸空间（X，/ ）中，有且仅有两个开集，即X本身和空集。例2离散空间设X是一个集合。令f = f(X),即由X的所有子集构成的族。容易 验证，丁是X的一个拓扑，称之为X的离散拓扑；并且我们称拓扑空 间(X,/)为一个离散空间。在离散空间(X,/ )中，X的每一个 子集都是开集。例 3 设 X= a,b,c .令/= , a , a,b , a,b,c 容易验证，/是X的一个拓扑，因此(X,/ )是一个拓扑空间这个 拓扑空间既不是平庸空间又不是离散空间。例4可数补空间设X是一个集合.令/= U X I U是X的一个可数子集US 容易验证，/是X的一个拓扑，称之为X的可数补拓扑。拓扑空间(X，/)称为一个可数补空间。定理1：设X，Y和Z都是拓扑空间.则(1) 恒同映射i ： X-X是一个连续映射；(2) 如果f:X-Y和g： Y-Z都是连续映射，则g0 f:X-Z也是连续 映射。定理2：设X，Y和Z都是拓扑空间，则(1) 恒同映射i :X-X是一个同胚；(2) 如果f:X-Y是一个同胚，则f 1 :Y-X也是一个同胚；(3) 如果f:X-Y和g： Y-Z都是同胚，则g0 f： X-Z也是一个同胚。定理3：设X, Y和Z都是拓扑空间，则(1) X与Y同胚；(2) 如果X与Y同胚，则Y与X同胚；(3) 如果X与Y同胚，Y与Z同胚，则X与Z同胚。定义3：拓扑空间的某种性质P，如果为某一个拓扑空间所具有，则 必为与其同胚的任何一个拓扑空间所具有，则称此性质P是一个拓扑 不变性质。换言之，拓扑不变性质即为同胚的拓扑空间所共有的性质。拓扑学的中心任务便是研究拓扑不变性质。参考文献：熊金城，点集拓扑讲义，第3版，北京，高等教育出版社：2003.12