2014年全国高中数学联赛辽宁赛区初赛试题（7 月 6 日 8:30 至 11:00）一.选择题（本题满分30分，每小题5分）1 .已知 aUbUc = q bfA,B,C?共有（A. 100Gdef, AnB =a,b,c,d? , c A PlBDC，则符合上述条件的)组B. 140C. 180 D. 200S2 =x, y) log 1 (2 +I 2A. 2:1 B. 4:1C. 6:1 D. 8:1C. (1,1 套 D. 222C，若 SinA_3cosA = tan，则 sin2B 2cosC 的最大 cosA + T3si nA124. ABC的三个内角为A , B ,值为()A. 1B. 1C. 32 2-1L_anan 1 anan 25.正项数列兔？满足=1(n N ) , ai a3 6 , ai , a?,直单调递增且成等比数列,（）A. 5368an 1an 2Sn为fan?的前n项和，则IS.0141的值是（其中表示不超过实数的最大整数）B. 5367 C. 5363 D. 5362$ = ：(x, y) log2(1 x2 y2) -2 log 1 (x y)，则S2与S的面积比为()2 J3. 已知 ABC的三边a ,b ,c成等比数列，a ,b ,c的对角依次为 A ,B ,C，则n Bcs B 的取值范围是（）A.,1 JB.（1八22 26 .设直线l与球O有且只有一个公共点P，从直线I出发的两个半平面、截球O的两个 截面圆的半径分别为1和.3，二面角:-的平面角为 5，则球O的半径为（）6A. ,7 B. 2,7C.D . 2.107.填空题（本题满分30分，每小题5分） 若非零复数X满足X 1 =1，则X2014 XX8.4x2不等式2 2x 9的解集为.（1+2x）2甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对21方多2分或打满6局时停止.设甲在每局中获胜的概率为 -，乙在每局中获胜的概率为,33且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数的期望E（）为.2 血 T TT T T10.如图所示，在 ABC 中，cosC , AH，BC =0 , AB （CA CB0，则过点 C,以5A , H为两焦点的双曲线的离心率为.9.a11. 设是由任意100个互不相同的正整数组成的集合， 令B=-a,bA且ab , f(A)表示b集合B中元素的个数，则f(A)的最大值与最小值之和为.12 .抛物线y二ax2，bx，1的参数a , b满足8a2,4ab=b3，则当a , b变动时，抛物线的顶 点(s,t)的轨迹方程为.三.解答题(本题共4道小题，满分90分)13. (本小题满分20分)函数f(x)的定义域为R，已知x 0时，f(x) 0,并且对任意m,R，都有f ( m n)二 f( m) f(.(1)讨论函数f(x)的奇偶性以及单调性；(2 )设集合 A(x, y) f(3x2) f (4y2) 24， B J(x,y) f(x)- f(ay) f(3) = 0?，11C =(x, y) f(x)=f(y2) + f (a)技且 f 1 =2，若 Ap|BH0 且 Ap|CH0，试求实数 a 的 I2J取值范围.14. (本小题满分20分)如图，锐角 ABC外心为O,直线BO和CO分别与边AC，AB交于点B，C.直线BC 交厶ABC外接圆于点P，Q.若AP=AQ，证明： ABC是等腰三角形锐角三角形.15. (本小题满分25分)已知数列注？中，a, =2，对于任意的p,qN *，有ap.q二ap - aq.(1)求数列:an /的通项公式；数列卿满足an才bn畀(一旷斧N *)，求数列5 .内直径为h ?的通项公式；n*(3)设Cn =3 bn(nN)，是否存在实数当nN时，G 1 G恒成立，若存在, 求实数的取值范围；若不存在，请说明理由.16. (本小题满分25分)已知抛物线C:y2=2px(p 0)，直线I与抛物线C相交于A，B两点，连结A及抛物线顶 点0的直线交准线于B，连结B及0的直线交准线于A，并且AA与BB都平行于x轴.(1) 证明：直线I过定点；(2) 求四边形ABBA的面积的最小值.2013年全国高中数学联赛辽宁省初赛试题及参考答案及评分标准说明：1 评阅试卷时，请依据本评分标准，选择题和填空题只设5分和0分两档，其它各题的评阅，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分。2 如果考生的解题方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，评卷时可参照本评分标准适当划分档次评分，可以5分为一个档次，不要再增加其它中间档次。一. 选择题(本题满分30分，每小题5分)1 .已知集合 A 二x| x2 -2x-10 岂 0, B 二x |m T 乞 x 乞 2m - 1.当 Ap| B =.时，实数 m 的取 值范围是( ).、 1(A) . 2 : m 4 (B).m :-m ： 2 或 m 4 (C). m ： 4 (D).21. (B).2. 过原点的直线l交双曲线xy=-2&于P、Q两点，其中点P在第二象限，将下半平面沿x轴折起使之与上半平面成直二面角，线段PQ的最短长度是().(A) . 2 .2(B). 3、2(C). 4、2 (D) . 42. (D)._3. 设a,b,c均为非零复数，令w丄3i，若-=-，则的值为().22b c a ab+c2 2(A) . 1(B).二w (C). 1, w, w (D). 1, -w, w3. (C).4. 设f(x)是(0,：)上的单调函数，且对任意x (0,：)，都有ff(x)-log2x = 6.若X。是方程 f (x) - f (x) = 4 的一个解，且 x (a T,a)(a N )，则 a 的值为().(A) . 1(B). 2 (C). 3(D) . 44. (B).2，高为20的圆柱形容器中最多可以放入直径为2的小球的个数是(A) . 30(B). 33 (C). 36(D). 395(C).6 .已知实数 x,y满足 17(x2 y2) 30xy 16 =0 .则 16x2 4y2 -16xy-12x 6y 9 的最大值 是()_(A) . 7(B).、.元(C). .19 (D). 36. (A).二. 填空题(本题满分30分，每小题5分)7. 若 2a -22a b,2a 2b，22abc，则庁的最大值是.7. -.38. 长方体 ABCD -B1C1D1中，AB =4, AD =3，则异面直线 A,D与B1D1的距离为.8. 泄.179.椭圆B两点.g g =1(a b 0)的离心率为,斜率为1且过点M (b,0)的直线与椭圆交于 Aa b232设O为坐标原点，若OA OB二一cot. AOB，则该椭圆的方程是.529. 1.16410. 将11个完全一样的小球放入6个不相同的盒子中，使得至多有 3个空盒子的放法有 种.10.4212_1 x v 011.已知函数f(x)二 ,-, 设方程f(x)=x在区间(0, n内所有实根的和为Sn，则 f (x1)+1,x0,数列丄的前n项和=.Sn11.互.2an 4nn 1(n _2)，则此数列的通项公式ann 112. 数列 an中，an -2a12. an =(n 1)(2n1 -1).三. 解答题(10 分)13.设关于x的方程x2 -mx-1=0有两个实根，(一：)，函数f(x)(1)(2)(3)求f(f(：)的值；判断f (x)在区间(：)的单调性，并加以证明；+ uBUq + 7 B若均为正实数，证明：|f()-f(-九+ 4九+卩13. 解：(I /是方程 x2 -mx-1=0的两个根，.a.fm = 2-c)1、:2 1： . 2 . . . .(.) , z(5 分)f c ) =1，同理可得-f( ) =1 ： f(： )1 f( J = 2，(n)v 心：-；)：)，(x +1)(x +1)当X ()时，f (x)0，. f(x)在G , )上单调递增.(m)v 二& +卩、由(u)可知，人+卩八 f( J,Z + Pu(x + B-f( )l：fC)_f(Jl,丸+ u1 . 1 .f G ), f (:)，【二-1,aP同理 f （二）：:：f （由（I）可知,0 , 丸+ & +卩fC ) ： f( ) ：-.fC ),九+卩(15 分)fy 11 P -aR- I f () - f( )T ： - - 1 + P人+卩14.已知数列a*满足印=3,an 1 =a； -na (n N ,为实数).(1) 若an _2n恒成立，求的取值范围；111(2) 若 =-2,求证：-2.印_2a2_2an_214. 解：(I )当 n = 2 时，由 a2 =6 _2 2 得-2 ,即 an _2n 时，一 -2. ( 5 分)下面证明当咒X:2时，an _ 2n .当n=2时，a? 一2 2成立；设当n二k(k_2)时，a 2k成立；则当n = k 1时，ak1 二a2 -kak 二ak(ak -k) _2k2 -2 =2 k 1 (k-1)_2 k 1 ,故对所有n _ 2 , an _ 2n成立.当n=1时，a 2 1成立，故对所有n N , an _ 2n成立. 综上，的取值范围是 -2. ( 10分)(U)当二 -2 时，an= a - na*-4 亠 na*11 1 1 1 1 .=an -2 2 an4 - 22n4 a 2 2n41 1 1,11 111 2 =2-a-i - 2 a2 - 2an - 22 22215. 如图，锐角 ABC中, ABvAC且点D和E在边BC上，满足BD=CE若在厶ABC内存在点P 满足 PD|AE 且/ PAB2 EAC 证明：/ PBAW PCA.15.证明：如图,作平行四边形ABFC和平行四边形ABGP , A贝U AC 二 FB ACEFBD 又 BD 二 CE故 AEC 三 FDB , ( 5 分)BDF AEC ,所以 FD /AE ,又 PD/AE ,贝U P、 D、F因此