研究性课题：分期付款的有关计算数列知识在按揭购房中的实际应用作者：张晓琳崔云航陈禹(牡丹江铁路三中二年六)在探索中创新，在实践中求知。为了适应创新教育，素质教育的需要，我们积极主动地开展了研究性学习的活动。培养自学能力，激发对学习的兴趣。开展研究性课题，需要我们“探索，创新，应用”。探索，要求我们不仅仅满足于课堂知识，而是希望能够更深更广的了解知识，发现其中的内涵，学懂学透。我们在活动中，通过社会调查，借助互联网查阅整理了有关的多方面内容。不但敢于质疑，而且勤于行动。创新，让我们不拘泥于陈旧的知识，而是寻求更多更新的知识。素质教育的目的在于培养学生的创造力“创造是人才的本质。”在探索的过程中，创造出适用的更简捷的思路和方法。应用，要求我们不只为了考试而学习，而是要“学以致用”。为此，我们选择了新教材的“研究性课题：分期还款的有关计算”为题，研究数列部分在实际生活中的应用，即“按揭购房”中分期还款的计算。.复习引入，介绍课题1、复习有关复利计息知识来源于生活，数学知识也是如此，在我们的日常生活中，存在有大量的数学素材。例如新教材P.91例2就是一个以复利计算利息的储蓄问题，我们先来重温一下。(1)按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r,设本利和为y,存期为x,写出本利和y随存期x变化的函数式。答：x期后的本利和为y=a(1+r)x(2)如果存入本金a元，每月的利率为0.8%,试分别计算1月后,2月后，3个月后，12个月后的本利和是多少？解：已知本金为a元,1月后的本利和为a(1+0.8%)22月后的本利和为a(1+0.8%)33月后的本利和为a(1+0.8%)1212月后的本利和为a(1+0.8%)数学的应用非常广泛，数学已渗透到现代科学的各个领域、国民经济的各个部门，正如华罗庚教授所说：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学。”今天，我们就以数学为工具一起来研究一个与人们生活密切相关的分期还款问题。这是一个新教材首次出现的研究性课题，现在我先来简要介绍一下研究性课题。2、介绍研究性课题研究性课题是新教材中的一个专题性栏目。这一个专题具有探索性和应用性的特点，它要求同学们从数学角度，对日常生活、生产和其它学科的问题及某些数学问题进行深入探讨，它既是所学内容的实际应用，又对同学们探究和解决问题具有较好的训练价值，是培养同学们综合实践能力和创新精神的极好教材。研究性课题与我们是初次接触，初次见面，还请同学们多多关照！3、关于分期还款和按揭购房今天所开展的“研究性课程”，是一个有关分期还款的问题.分期还款方式在今天的商业活动中应用日益广泛，为越来越多的顾客所接受，这一方面是因为很多人一次性支还售价较高商品的款额有一定的困难，另一方面是因为不少商店也在不断改进营销策略，方便顾客购物和还款，由于分期还款与每个家庭、每个人的日常生活密切相关，对本课题的探究肯定会引起同学们的兴趣。在我们买房时，有时会因为经济原因而选择按揭购房，按揭购房就是以固定资产为抵押向银行贷款购房，也就是分期偿还债务，其中涉及到复利的计算，和分期贷款一样，应用了数列的知识。二.提出问题、自主探索按揭购房的示例陈先生欲在大鹏售楼公司购一套小户型的住房，经过仔细的考虑他选择了46楼的一套。大鹏售楼公司为他提供了两种还款方式：一次性还款和在银行办理按揭购房。楼盘门市13楼46楼79楼价格1400元/平方米1100元/平方米980元/平方米800元/平方米面积200平方米180平方米120平方米70平方米但由于经济原因陈先生无法一次性还款，公司向他推荐了按揭购房。那么按揭有哪些好处呢？办按揭的三大优点1、按揭贷款在分期还款的基础解决了需要在短时间内筹集大量资金的困难，将大笔资金分解为长期小额资金还贷。2、把有限的资金用于多项投资从投资解度说，办按揭购房者可以把资金分开投资，贷款买房出租，以租养贷，然后再投资，资金使用灵活。3、银行替你把关办借款是向银行借钱，所以房产项目的优劣银行自然关心，银行除了审查你本身外，还会审查开发商，为你所关，自然保险性高。陈先生决定在银行办理按揭，他自己可以承担一部分，向银行贷款80000,银行为他提供了三种按揭方案万案分几次付款方法类别付清购买后4个月第1次付款，再过4个月第2次付款,再过4个月第3次付款购买2个月第1次付款，再过2个月第2次付款购买后12个月第6次付款购买后1个月第1次付款，再过1个月第2次付款12次购买后12个月第12次付款那么哪种方案更实惠，它们每月分别须还多少钱，与一次性还款的差额分别为多少？我们以第三种方案为例，帮他解决这个问题。贷款80000,00按揭购买房子，采用向银行分期还款的办法，每期还款数相同，购买后1个月第1次还款，再过1个月第2次还款，如此下去，共还款12次后还清，如果按月利率4.65%,每月利息按复利计算(上月利息要计入下月本金)，那么每期应还款多少？分析：本题可通过逐月计算欠款来处理，根据题意，第5个月的欠款数为零，据此可得等量关系。解：设每月应还款x元，购买1个月后的欠款数为80000-1.045-x购买2个月后的欠款数为(80000-1.045-x)-1.045-x即80000-1.0452-1.045x-x购买3个月后的欠款数为(800001.0452-1.045x-x)-1.045-x即：80000-1.0453-1.0452x-1.045x-x购买12个月后的欠款数为：800001.04512-1.04511x-1.0453x-1.0452x-1.045x-x由题意800001.04512-1.04511x-1.0453x-1.0452x-1.045x-x=0即x+1.045x+1.0452x+1.0453x+1.04511x=800001.04512观察一下，上述等式有什么特点？可以发现，上述等式是一个关于x的一次方程，且等号左边是一个首项为x,公比为1.045的等比数列的前5项的和。X04180000x1Q4第1Q45T于是，即X=8773（元）这就是说，每月应还款8773元。说明：这里先写出开始3个月的欠款数，就能找到某些规律，从而就能写出第5个月的欠款数。通过计算发现，第种方案与一次性还款差额较小。思考：还有其它解法吗？同学们并拘泥于一种方法，在老师的引导下，分成小组讨论我们对上面的等式作一些深入的研究：第12次还款第11次（即最后一次还款x还款）x元。（由元后到于款已全部还款全部清，因此这一还清时期还款没有利连同利息）息之和第3次还款x元后到款全部还清时连同利息之和第2次还款x元后到款全部还清时连同利息之和第1次还款x元后到款全部还清时连同利息之和80000元商品在购买5个月后（即货款全部还清时）连同利息之和商品的售价及从购买到最后一次还款时的利息之和。各次（期）所还的款以及各次（期）所还款到最后一次还款时所生的利息之和x+1.045x+1.0452x+1.0453x+1.04511x=800001.04512这个等式说明了：分期还款，各次（期）所还的款以及各次（期）所还款到最后一次还款时所生的利息之和，等于商品的售价及从购买到最后一次还款时的利息之和。实际上这是分期还款中的规定，从上面的过程中我们可看出这种规定是合理可行的。于是我们有了解法2,利用分期还款的有关规定直接列出方程。解法2:设每月应还款x元，那么到最后1次还款时（即商品购买12个月后）还款金额的本利和为：（x+1.045x+1.0452x+1.0453x+1.0451x+1.04511x）元；另外，80000元商品在购买后5个月后的本利和为80000-1.0455元。根据题意，得x+1.045x+1.0452x+1.0453x+1.04511x=80000-1.04512解法1）说明：解法1通过逐月计算欠款来处理，由第12个月后的欠款为零可得等量关系，这种解法思路自然，容易想到，但过程较长。解法2从最后一次还款（即款全部还清时）的角度上来看问题，即按分期还款中的规定直接列出等式，过程较简洁。思考：能否从贷款初的角度来研究？若从贷款时的角度来看：第1个月偿还的x元，贷款时值元1.045第2个月偿还的x元，贷款时值X，元1.0452第12个月偿还的x元，贷款时值一元1.04512贷款80000元值80000元。由此可列出方程：=80000XXXXX-TT2-3-4-1.0451.0451.0451.0451.045上面的两种思考方法，一种是将各期还款都折合成结清时的值来考虑问题，另一种是将各期还款都折合成刚贷款时的值来考虑问题。很明显在按复利计息的情况下，由刚贷款时和最后全部还清时两种不同角度得到的两个方程是等价的，两种思考方法，殊途同归。相比较方程而言，还是从最后全部还清的角度来看更简单些。三、小结深化、探索规律在我们自主探索得出结论的情况下，现在对整个分期还款的应用问题进行一次回顾小结。从数学的角度看，本课题是等比数列前n项和的公式在购物还款方式上的一个实际应用。问题的关键在于需要了解分期还款到底是怎么一回事，尤其要弄清以下情况和规定：1 .在分期还款中，每月的利息均按复利计算；2 .分期还款中，规定每期所还款额相同；3 .分期还款时，贷款额和每期所还款额在货款全部还清前会随着时间推移而不断增值；4 .各期所还款额连同到最后一次还款所生的利息之和，等于商品售价及从购买到最后一次还款时的利息之和(这一规定实际上作为解决问题关键步骤列方程的依据)。要善于将数学知识应用到实际当中，同时也会将现实中的问题抽象成数学问题进行求解。四.建立模型，推广应用1. 建模在上述问题的基础上，你能进一步深化原问题吗？对于上面3个方案中的x的表示式，你能发现其中有什么共同特点吗？能够从中概括出个一般的公式吗？一般地，购买一件售价为a元的商品，采用上述分期还款时要求在m个月内将款全部还清,月利率为p,分n(n是m的约数)次还款，那么每次还款数的计算公式是什么？我们通过讨论得出了这样一个公式x=a(1+p)m1(1+p)m/n-1/(1+p)m-1分析过程：若在个月内还清，分为次，则x(1+p)m-m/n+x(1+p)m-2m/n+x=a(1+p)m得出这个公式后，再将它应用于上述3个方案中的有关计算。验证一下结果是否一致。2.推广请同学们再看下面一个问题。某林场去年底森林木材存量为a,从今年起以每年25%勺增长率生长，同时每年冬天要砍伐一定量的木材，为了实现经过20年达到森林木材存量翻两番(是最初的四倍)的目标，求每年砍伐量x。(取lg2=0.3)如果是严格的分期还款类型的问题，上述条件应是“经过20年达到森林木材的存量为零。存量为零？！既不符合实际情况，更是不可思议。我们应该考虑到生态平衡、环境保护及可持续发展等因素，因此，上题的“存量翻两番的目标”较妥。本问题就是刚才的分期还款问题的进一步深化发展。我们的解法如下：第一年后木材存量：M=(a-x)125%第二年后木材存量：M=(M-x)125%=(a-x)125喏-x125%第一年后木材存量：M3=(M-x