第 5 章 VAR 模型分析51 引论考虑简单的二维系统，如果没有充分的理由确定变量是否为外生变量的情况下，可以认为两变量具有反馈关系。假 设y的时间路径受Z的现期值与过去值影响，Z的时间路径受t t t的现期值与过去值影响：t5.1.1)5.1.2)y = b -b z +丫 y +丫 z +t1012 t 11 t-112 t-1ytz = b -b y +Y y +Y z +t 2021 t 21 t -122 t -1zt这里假设：（1）yt，zt是平稳的；（2）j是白噪声扰动,t tyt zt标准差分别为 Q ；（3）e ，怡是不相关的。y zyt zt方程（5.1.1）, （5.1.2）构成了一阶向量自回归（VAR）。方程（5.1.1）, （5.1.2）称为结构式VAR，简记为SVAR,。这个系统反映了yt，之间的相互反馈。如，-b12是zt变化一个t t12t单位对y t的当期影响12是zt1变化一个单位对y t的影响。t12t -1t注意：e和e分别是对yt和：”的更新（或冲击）。当然，若 ytztttb不为零，e对z有间接的当期影响口，b 12不为零，e21yt t12zt对 y t 有间接当期影响。这样的系统可以捕捉反馈影响。方程（5.1.1），（5.1.2）不是导出型 （约化型） 方程，因为， y对z有当期影响，且z对y有当期影响。但可以将这方程系 tttt统转化成一个更便于应用的形式。我们可将这系统写成下面 形式1bybyy 一y812t=10+1112t-1+ytb1zbyyz8211t202122t-1zt或bx =r+ r x+ 8(5.1.3)t01t-1t这是B=1 b 一12, X =yt，r =b 一10， r=yy -11 12， 8 =8ytb1tz0b1y yt821t2021 22zt前乘B -1可得到标准形式的 VARX =A +AX +et01 t_1t这里 A = B-1 厂,A = B-1 厂,e = B-ig0011 tt定义a是向量A的第i个元素，a是矩阵a中的i行j列元i 0 0 ij 1素，e是向量e中的第i个元素，则（5.1.3）可写为itt5.1.4)5.1.5)y = a + a y + a z + et 1011 t -112 t -11tz = a + a y + a z + et 2021 t -122 t -12t方程(5.1.4), (5.1.5)称为标准型的VAR。这时误差项 两个冲击gg的组合。由e = B-18 ,可计算yt zttte = (8- b 8 )/(1- b b )1tyt 12 zt12 21e = (8 - b 8 )/(1- b b )2 tzt 21 yt 12 21由于8 , 8 是白噪声过程，所以，e , e1te1t2 如下 :2t和 e 是2t(5.1.6)(5.1.7)ztEe = 01tEe2 = (g2 + b2G2)/(1-b b )21ty12 z12 21= E(8-b8)(8-b 8)/(1-b b )2 = 0yt 12 ztyt -i12 zt -i12 21是序列无关的，e也是序列无关的，且分别有零均 2t值，常量方差。冲击e ,e的协方差矩阵为1t 2 tytEe e1t 1t -i 因此， e 1t(Var(e )cov(e , e )工 =ItIt 2t、cov(e , e )Var(e )1t 2t2t由于Ee e = E( -b 8 )(8-b 8 )(1 -b b )21t 2 tyt 12 zt zt 21 yt12 21=(b Q2 + b Q2)/(1 -b b )221 y 12 z 12 21(5.1.7)般来说（5丄7）不为零，所以eit，是序列相关的,即两个冲击是相关的。当b二b二0时（即y对z没有当期影响,1221ttZ对y也没有当期影响）,ttit，e21是序列不相关的。由于丫中所有元素都与时间t无关，所以可写成如下Q12Q Q 2丿21 25 2 估计和识别考虑下面多维自回归过程X = A + A X + A X + + A X + e（5.2.1）t 0 1 t -1 2 t - 2p t - p t这里X是nx 1向量，A是nx 1截距向量，A是nxn系数矩阵，e是nx 1t0it误差向量。矩阵A含有n个参数，每个a都含有n2个参数，所以， 0i有n + pn2个参数需要估计。通常，这些估计的参数中的许多 是不显著的， VAR 将是过度参数化。然而，由于目标是找出 这些变量之间的相关关系，并不是作短期预测。加入一些不 适当的零限制会损失重要的信息。而且，解释变量之间也可 能有共线性，对单个系数的t-检验对于简化模型不一定非常 可靠。由于方程(5.2.1)的右边只包含滞后变量，且误差项是 序列无关的，常数方差。因此，这系统中每个方程都能用 OLS 估计，而且 OLS 估计是一致的且是渐近有效的。识别为了说明识别程序，我们回到二变量一阶VAR的例子。 由于 VAR 过程中的反馈，方程(5.1.1)，(5.1.2)不能直接 估计，原因在于z与*相关，y与*相关。标准估计方法要t ytt zt求解释变量与误差项无关。注意，在估计标准型 VAR(5.1.4)，(5.1.5)中，不存在这样问题。OLS能提供A中两元素的估0计， A 中 4 个元素的估计。而且，从两个回归中获得残差，1可以得到气，e2的方差，协方差的估计。问题在于是否能重1t2t新得到由方程(5.1.1)，(5.1.2)所提供的信息。换句话说， 对于(5.1.4)， (5.1.5)构成的 VAR 模型的 OLS 估计，原来 的方程组(5.1.1)，(5.1.2)是否是可识别的？如果我们比较方程组(5.1.1)，(5.1.2)中参数的个数与 方程组(5.1.4), (5.1.5)中参数的个数，可以看出，除非对方程 (5.1.1)，(5.1.2)施加一些必要的限制，否则就是不可识别 的。方程(5.1.4), (5.1.5) 有 9个参数需要估计， 6个系数的估 计 (a , a , a , a , a , a ) 和 3 个参数 Var(e ), Var(e ), Cov( e , e )的10 20 11 12 21 221t2t1t 2t值。而结构方程(5.1.1), (5.1.2)中包含10个参数。b和b ，10 20711, 12,7 21,7 2212 21O , O Oyz总之，结构方程(5.1.1)，(5.1.2)中包含 10 个参数，而VAR估计只得到9个参数。除非我们对其中的一个参数 加上限制，否则不可能识别这个方程，方程(5.1.1)，(5.1.2)是不足识另 U (underidentified)的。识别模型的一种方法是Sims(1980)提出的在结构模型中 施加“识另限制”的估计策略，即采用递归方程组型式。在 Sims的方法中，根据有关的经济模型来选取VAR变量，通 过滞后长度的检验来确定方程中的滞后长度。如果对结构方 程组系数加入一个限制，如系数b = 0，这时结构方程变为21y = b 一b z +7 y +7 z +t1012 t 11 t-112 t 一1ytz = b +7 y +7 z +8(5.2.2)t 2021 t 一122 t 一1zt同样(5.1.6)，(5.1.7)变为e =8b 81tyt 12 zte = 82 tzt限制b = 0意味着，z对y有当期影响，但y的一步滞后21t tt影响 z 。加入这个限制(也许是由于特殊的经济模型)，得到 t了一个恰好识别系统。限制b = 0也意味着，B-1可由下式给21出(1 - b )B -1 =12(01丿用 B-1 前乘结构方程组，给出f y)tI zt丿或f. 1 -b )fb.0121) 丿. 10 丿 20(1.0-b 7121Y丿. 11AY 21Y12Y 22八)fy )t-1Zt-1 丿f1+.0-b121Y ytzt丿、fyt)tI ztfb - b10 12.b 2020b20- b Y12 21Y12Y21- b Y12 22Y22)fyt-1t-1人 zt-112 ztzt5.2.3)利用 OLS 估计这个方程组，就会得到y = a + a y + az + et 1011 t-112 t -11tz = a +a y +a z +et 2021 t -122 t -12 t这里 a = b - b b10 10 12 20a = Y -b Y11 11 12 21a = Y -b Y12 12 12 22a = b20 20a = Y21 21a = Y22 22由于b = 0，则e = 一 b 和e = ，因此211tyt 12 zt2 tztVar(e ) = c 2 + b c 21 y 12 zVar (e ) = c 22zcov(e , e ) = -b c 21 212 z因此，我们把得到的 9 个估计出来的参数a ,a ,a ,a ,a ,a ,Var(e ),Var(e ), cov(e ,e ) ，代入上方 910 11 12 20 21 22 1 2 1 2个方程中，并解出b ,b ,丫 ,丫 ,b ,丫 ,丫 Q2q2 。10 12 11 12 20 21 22 y z这时可以利用e、b的估计和关系式e = - b ，求出 2t121t yt 12 zt t, t的估计。yt zt限制b二0意味着，y对z没有当期影响，在(5.2.3)21t t中，都影响y的当期值，而只有影响z的当期值。eyt zttztt2t只是对 z 的冲击。按照这种三角形式分解残差的方法称为 tCholeski 分解。在n个变量的VAR中,B是nXn矩阵(有n个回归残差, n个结构冲击)，要有(n2 -n)/2个限制加入到回归残差和结构 冲击中。因为， Cholesk