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线性代数复习提纲第一部分:基本要求(计算方面)四阶行列式的计算;N阶特殊行列式的计算(如有行和、列和相等);矩阵的运算(包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等的混合运算);求矩阵的秩、逆(两种方法);解矩阵方程;含参数的线性方程组解的情况的讨论;齐次、非齐次线性方程组的求解(包括唯一、无穷多解);讨论一个向量能否用和向量组线性表示;讨论或证明向量组的相关性;求向量组的极大无关组,并将多余向量用极大无关组线性表示;将无关组正交化、单位化;求方阵的特征值和特征向量;讨论方阵能否对角化,如能,要能写出相似变换的矩阵及对角阵;通过正交相似变换(正交矩阵)将对称矩阵对角化;写出二次型的矩阵,并将二次型标准化,写出变换矩阵;判定二次型或对称矩阵的正定性。第二部分:基本知识一、行列式1行列式的定义用n2个元素aij组成的记号称为n阶行列式。(1)它表示所有可能的取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和;(2)展开式共有n!项,其中符号正负各半;2行列式的计算一阶|=行列式,二、三阶行列式有对角线法则;N阶(n=3)行列式的计算:降阶法定理:n阶行列式的值等于它的任意一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。方法:选取比较简单的一行(列),保保留一个非零元素,其余元素化为0,利用定理展开降阶。特殊情况上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积;(2)行列式值为0的几种情况:行列式某行(列)元素全为0;行列式某行(列)的对应元素相同;行列式某行(列)的元素对应成比例;奇数阶的反对称行列式。二矩阵1矩阵的基本概念(表示符号、一些特殊矩阵如单位矩阵、对角、对称矩阵等);2矩阵的运算(1)加减、数乘、乘法运算的条件、结果;(2)关于乘法的几个结论:矩阵乘法一般不满足交换律(若ABBA,称A、B是可交换矩阵);矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在;若A、B为同阶方阵,则|AB|=|A|*|B|;|kA|=kn|A|3矩阵的秩(1)定义非零子式的最大阶数称为矩阵的秩;(2)秩的求法一般不用定义求,而用下面结论:矩阵的初等变换不改变矩阵的秩;阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数(每行的第一个非零元所在列,从此元开始往下全为0的矩阵称为行阶梯阵)。求秩:利用初等变换将矩阵化为阶梯阵得秩。4逆矩阵(1)定义:A、B为n阶方阵,若ABBAI,称A可逆,B是A的逆矩阵(满足半边也成立);(2)性质:(AB)-1=(B-1)*(A-1),(A)-1=(A-1);(A B的逆矩阵,你懂的)(注意顺序)(3)可逆的条件:|A|0;r(A)=n;A-I;(4)逆的求解伴随矩阵法A-1=(1/|A|)A*;(A* A的伴随矩阵)初等变换法(A:I)-(施行初等变换)(I:A-1)5用逆矩阵求解矩阵方程:AX=B,则X=(A-1)B;XB=A,则X=B(A-1);AXB=C,则X=(A-1)C(B-1)三、线性方程组1线性方程组解的判定定理:(1) r(A,b)r(A) 无解;(2) r(A,b)=r(A)=n 有唯一解;(3)r(A,b)=r(A)n 有无穷多组解;特别地:对齐次线性方程组AX=0(1) r(A)=n 只有零解;(2) r(A)n 有非零解;再特别,若为方阵,(1)|A|0 只有零解(2)|A|=0 有非零解2齐次线性方程组(1)解的情况:r(A)=n,(或系数行列式D0)只有零解;r(A)n,(或系数行列式D0)有无穷多组非零解。(2)解的结构:X=c11+c22+Cn-rn-r。(3)求解的方法和步骤:将增广矩阵通过行初等变换化为最简阶梯阵;写出对应同解方程组;移项,利用自由未知数表示所有未知数;表示出基础解系;写出通解。3非齐次线性方程组(1)解的情况:利用判定定理。(2)解的结构:X=u+c11+c22+Cn-rn-r。(3)无穷多组解的求解方法和步骤:与齐次线性方程组相同。(4)唯一解的解法:有克莱姆法则、逆矩阵法、消元法(初等变换法)。四、向量组1N维向量的定义注:向量实际上就是特殊的矩阵(行矩阵和列矩阵)。2向量的运算:(1)加减、数乘运算(与矩阵运算相同);(2)向量内积=a1b1+a2b2+anbn;(3)向量长度 |=(a12+a22+an2) ( 根号)(4)向量单位化(1/|);(5)向量组的正交化(施密特方法)设1, 2,n线性无关,则1=1,2=2-(21/1)*1,3=3-(31/11)*1-(32/22)*2,。3线性组合(1)定义若=k11+k2 2+knn,则称是向量组1, 2,n的一个线性组合,或称可以用向量组1, 2,n的一个线性表示。(2)判别方法将向量组合成矩阵,记A(1, 2,n),B=(1,2,n,)若r(A)=r(B),则可以用向量组1, 2,n的一个线性表示;若r(A)r(B),则不可以用向量组1, 2,n的一个线性表示。(3)求线性表示表达式的方法:将矩阵B施行行初等变换化为最简阶梯阵,则最后一列元素就是表示的系数。4向量组的线性相关性(1)线性相关与线性无关的定义设k11+k22+knn=0,若k1,k2,,kn不全为0,称线性相关;若k1,k2,,kn全为0,称线性无关。(2)判别方法:r(1, 2,n)n,线性相关; r(1, 2,n)=n,线性无关。若有n个n维向量,可用行列式判别:n阶行列式aij0,线性相关(0无关) (行列式太不好打了)5极大无关组与向量组的秩(1)定义极大无关组所含向量个数称为向量组的秩(2)求法设A(1, 2,n),将A化为阶梯阵,则A的秩即为向量组的秩,而每行的第一个非零元所在列的向量就构成了极大无关组。五、矩阵的特征值和特征向量1定义对方阵A,若存在非零向量X和数使AXX,则称是矩阵A的特征值,向量X称为矩阵A的对应于特征值的特征向量。2特征值和特征向量的求解:求出特征方程|I-A|=0的根即为特征值,将特征值代入对应齐次线性方程组(I-A)X0中求出方程组的所有非零解即为特征向量。3重要结论:(1)A可逆的充要条件是A的特征值不等于0;(2)A与A的转置矩阵A有相同的特征值;(3)不同特征值对应的特征向量线性无关。六、矩阵的相似1定义对同阶方阵A、B,若存在可逆矩阵P,使P-1AP=B,则称A与B相似。2求A与对角矩阵相似的方法与步骤(求P和):求出所有特征值;求出所有特征向量;若所得线性无关特征向量个数与矩阵阶数相同,则A可对角化(否则不能对角化),将这n个线性无关特征向量组成矩阵即为相似变换的矩阵P,依次将对应特征值构成对角阵即为。3求通过正交变换Q与实对称矩阵A相似的对角阵:方法与步骤和一般矩阵相同,只是第三歩要将所得特征向量正交化且单位化。七、二次型 n1定义n元二次多项式f(x1,x2,,xn)= aijxixj称为二次型,若aij=0(ij),则称为二交型的标准型。 i,j=12二次型标准化:配方法和正交变换法。正交变换法步骤与上面对角化完全相同,这是由于对正交矩阵Q,Q-1=Q,即正交变换既是相似变换又是合同变换。3二次型或对称矩阵的正定性:(1)定义(略);(2)正定的充要条件:A为正定的充要条件是A的所有特征值都大于0;A为正定的充要条件是A的所有顺序主子式都大于0;
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