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+二一九高考数学学习资料+第7讲 立体几何中的向量方法()求空间角一、填空题1. 如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,O是底面正方形ABCD的中心,M是D1D的中点,N是A1B1上的动点,则直线NO、AM的位置关系是_解析建立坐标系如图,设正方体的棱长为2,则A(2,0,0),M(0,0,1),O(1,1,0),N(2,t,2),(1,1t,2),(2,0,1),0,则直线NO、AM的位置关系是异面垂直答案异面垂直2在正方体ABCDA1B1C1D1中,M、N分别为棱AA1和BB1的中点,则sin,的值为_解析设正方体的棱长为2,以D为坐标原点,DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴建立空间直角坐标系(如图),可知(2,2,1),(2,2,1),cos,所以sin,.答案3在长方体ABCDA1B1C1D1中,ABAA12,AD1,E为CC1的中点,则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为_解析建立坐标系如图,则A(1,0,0),E(0,2,1),B(1,2,0),C1(0,2,2)(1,0,2),(1,2,1),cos,.所以异面直线BC1与AE所成角的余弦值为.答案4已知直二面角l,点A,ACl,C为垂足,点B,BDl,D为垂足,若AB2,ACBD1,则CD_.解析如图,建立直角坐标系Dxyz,由已知条件B(0,0,1),A(1,t,0)(t0),由AB2解得t.答案5在正方体ABCDA1B1C1D1中,E是棱BB1中点,G是DD1中点,F是BC上一点且FBBC,则GB与EF所成的角为_解析如图建立直角坐标系Dxyz,设DA1,由已知条件G,B,E,F,cos,0,则.答案906正四棱锥S ABCD中,O为顶点在底面上的射影,P为侧棱SD的中点,且SOOD,则直线BC与平面PAC的夹角的大小为_解析如图所示,以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz.设ODSOOAOBOCa,则A(a,0,0),B(0,a,0),C(a,0,0),P.则(2a,0,0),(a,a,0)设平面PAC的法向量为n,可求得n(0,1,1),则cos,n.,n60,直线BC与平面PAC的夹角为906030.答案307. 如图,在四棱锥PABCD中,侧面PAD为正三角形,底面ABCD为正方形,侧面PAD底面ABCD,M为底面ABCD内的一个动点,且满足MPMC,则点M在正方形ABCD内的轨迹为_解析以D为原点,DA、DC所在直线分别为x、y轴建系如图:设M(x,y,0),设正方形边长为a,则P,C(0,a,0),则MC,MP .由MPMC得x2y,所以点M在正方形ABCD内的轨迹为直线yx的一部分答案8已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,点P在线段BD1上,当APC最大时,三棱锥PABC的体积为_解析以B为坐标原点,BA为x轴,BC为y轴,BB1为z轴建立空间直角坐标系(如图所示)设,可得:P(,)再由cos APC可求得当时,APC最大故VPABC11.答案9已知P是二面角AB棱上的一点,分别在、平面上引射线PM、PN,如果BPMBPN45,MPN60,那么二面角AB的大小为_解析不妨设PMa,PNb,如图,作MEAB于E,NFAB于F,EPMFPN45,PEa,PFb,()()abcos 60abcos 45abcos 45ab0,二面角AB的大小为90.答案9010已知点E、F分别在正方体ABCDA1B1C1D1的棱BB1,CC1上,且B1E2EB,CF2FC1,则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值为_解析如图,建立直角坐标系Dxyz,设DA1由已知条件A(1,0,0),E,F,设平面AEF的法向量为n(x,y,z),面AEF与面ABC所成的二面角为由令y1,z3,x1,则n(1,1,3)平面ABC的法向量为m(0,0,1)cos cosn,m,tan .答案二、解答题11. 如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,ACB90,BAC30,BC1,AA1,M是棱CC1的中点(1)求证:A1BAM;(2)求直线AM与平面AA1B1B所成角的正弦值解(1)C1C平面ABC,BCAC,分别以CA,CB,CC1所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系则B(0,1,0),A1(,0,),A(,0,0),M.(,1,),3030,.即A1BAM.(2)由(1),知(,1,0),(0,0,),设平面AA1B1B的法向量为n(x,y,z),则不妨取n(,3,0)设直线AM与平面AA1B1B所成角为.sin |cos,n|.12. 如图,已知正三棱柱ABC vA1B1C1的底面边长为2,侧棱长为3,点E在侧棱AA1上,点F在侧棱BB1上,且AE2,BF.(1)求证:CFC1E;(2)求二面角ECFC1的大小解建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,则由已知可得A(0,0,0),B(,1,0),C(0,2,0),C1(0,2,3),E(0,0,2),F(,1,)(1)证明(0,2,),(,1,)0220,所以CFC1E.(2)解(0,2,2),设平面CEF的一个法向量为m(x,y,z),由m,m,得即解得可取m(0,1),设侧面BC1的一个法向量为n,由n,n,及(,1,0),(0,0,3),可取n(1,0)设二面角ECFC1的大小为,于是由为锐角可得cos ,所以45.即所求二面角ECFC1的大小为45.13. 如图所示,已知点P在正方体ABCDABCD的对角线BD上,PDA60.(1)求DP与CC所成角的大小;(2)求DP与平面AADD所成角的大小解如图所示,以D为原点,DA为单位长度建立空间直角坐标系Dxyz.则(1,0,0),(0,0,1)连接BD,BD.在平面BBDD中,延长DP交BD于H.设(m,m,1)(m0),由已知,60,即|cos,可得2m.解得m,所以.(1)因为cos,所以,45,即DP与CC所成的角为45.(2)平面AADD的一个法向量是(0,1,0)因为cos,所以,60,可得DP与平面AADD所成的角为30.14如图,在底面为直角梯形的四棱锥PABCD中,ADBC,ABC90,PA平面ABCD,PA3,AD2,AB2,BC6.(1)求证:BD平面PAC;(2)求二面角PBDA的大小(1)证明如图,建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,6,0),D(0,2,0),P(0,0,3),(0,0,3),(2,6,0),(2,2,0)0,0.BDAP,BDAC.又PAACA,BD面PAC.(2)解设平面ABD的法向量为m(0,0,1),设平面PBD的法向量为n(x,y,z),则n0,n0.(2,0,3),解得令x,则n(,3,2),cosm,n.二面角PBDA的大小为60.高考数学复习精品高考数学复习精品
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