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高考大题纵横练(二)在AB中,a,,分别为内角A,B,C的对边,且bc2a=b (1)求角A的大小; (2)设函数f(x)=in x+2os2,a=2,f(B)+,求.解 (1)在BC中,b+c22c,由余弦定理可得cosA=,0,A.(2)f(x)sin x2cs2n x+cos +n()+1,f(B)=sin(+)1=1,B=.=,即=,b.如图,已知在长方体ACDA1B1CD1中,AD=A1AAB=2,点是棱B上一点,且=. (1)证明:A1D;()若二面角D-ECD的余弦值为,求CE与平面D1D所成的角. (1)证明以D为原点,DA所在直线为x轴,D所在直线为轴,DD1所在直线为z轴建立如图所示空间直角坐标系,则D(0,),A(2,0,),B(2,4,0),C(0,4,0),1(2,0,2),1(2,4,2),1(,,),1(0,,2).由于,因此(2,,0),于是(2,,-2),(2,0,2).因此=(2,2)(-2,0,-2)=0,即,故D1A1D.(或用几何法先证出D平面D1AE,然后证出1DD1EB)()解由于D1D平面ABCD,因此平面DEC的一种法向量为n1=(0,,2).又(2,4,0),=(0,4,),设平面D1CE的法向量为n2=(,z),则n2=x+y(4)0,n=-4y+2=0,因此向量n2的一种解是(2,1,2).由于二面角D1EC的余弦值为,则=,解得=.因此E(2,2,0),故(,0,2),=(,2,0), =(,2,0),因此=,=0,即EDD1,EE,故C平面D1E即C与平面D1ED所成角为. .已知数列a的首项a1=1,n+1=1,其中nN*.(1)设bn=,求证:数列bn是等差数列,并求出n的通项公式;()设n,数列ncn+2的前n项和为T,与否存在正整数m,使得n对于nN*恒成立?若存在,求出m的最小值;若不存在,请阐明理由解 (1)bn+-bn=-2(常数),数列bn是等差数列a1=1,b12,因此n=2+(n)=2n,由b=得n=.(2)由cn=,an得cn,cncn+22(),n=2(1-+-+-)2(1+-)3,依题意要使Tnb0)的左,右焦点分别为F1、F2,短轴两个端点为A、B,且四边形1A2B是边长为2的正方形.()求椭圆方程;(2)若,D分别是椭圆长轴的左,右端点,动点M满足MD,连接CM,交椭圆于点P,证明:为定值;(3)在(2)的条件下,试问x轴上与否存在异于点C的定点,使得以M为直径的圆恒过直线DP,M的交点?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请阐明理由.(1)解a=2,b=,a2=bc2,b22,椭圆方程为+=1.(2)证明 C(-2,),(,),设M(2,0),P(x1,y),则=(1,y1),(2,y),直线C:,即y=x+,代入椭圆x22y2得,(1+)2+yx-4=0.x(),x1=-,1,(,),4(定值).(3)解 设存在Q(m,)满足条件,则QDP,(m-2,-y),=(,),则由=,得-(-2)-=0.从而得m,存在Q(,0)满足条件.6.已知函数f(x)=(e是自然对数的底数),h(x)=1xln x.(1)求曲线y=f(x)在点(1,())处的切线方程;()求h()的最大值;()设g(x)f(),其中f()为f()的导函数. 证明:对任意,g(x)0,h()单调递增;当x(,)时,h()0,h(x)单调递减因此h(x)在e2处获得极大值,也是最大值h(x)的最大值为h(-2)=1+e-2.(3)证明 由于g(x)x(x),因此g()(x0),(x)1e-2等价于xxn x0时,ex1成立,这显然成立. 因此1x-xln x1+-2,g(x)2.
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