圆的知识点总结（一）圆的有关性质知识归纳 1. 圆的有关概念： 圆、圆心、半径、圆的内部、圆的外部、同心圆、等圆； 弦、直径、弦心距、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧、弓形、弓形的高； 圆的内接三角形、三角形的外接圆、三角形的外心、圆内接多边形、多边形的外接圆；圆心角、圆周角、圆内接四边形的外角。 2. 圆的对称性 圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴； 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形； 圆具有旋转不变性。 3. 圆的确定 不在同一条直线上的三点确定一个圆。 4. 垂直于弦的直径 垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧； 推论1 （1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 垂径定理及推论1 可理解为一个圆和一条直线具备下面五个条件中的任意两个，就可推出另外三个：过圆心；垂直于弦；平分弦（不是直径）；平分弦所对的优弧；平分弦所对的劣弧。 推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等。 5. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等；所对的弦的弦心距相等。 推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 此定理和推论可以理解成：在同圆或等圆中，满足下面四个条件中的任何一个就能推出另外三个：两个圆心角相等；两个圆心角所对的弧相等；两个圆心角或两条弧所对的弦相等；两条弦的弦心距相等。 圆心角的度数等于它所对的弧的度数。 6. 圆周角 定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半； 推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等； 推论2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径； 推论3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。 7. 圆内接四边形的性质 圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。 8. 轨迹轨迹 符合某一条件的所有的点组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹。（1）平面内，到一定点的距离等于定长的点的轨迹，是以这个定点为圆心，定长为半径的圆；（2）平面内，和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是这条线段的垂直平分线；（3）平面内，到已知角两边的距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线。例题分析 例1. 已知：如图1，在O中，半径OM弦AB于点N。图1 若AB，ON1，求MN的长； 若半径OMR，AOB120，求MN的长。 解：AB，半径OMAB， ANBN ON1，由勾股定理得OA2 MNOMONOAON1 半径OMAB，且AOB120 AOM60 ONOAcosAONOMcos60 说明：如图1，一般地，若AOB2n，OMAB于N，AOR，ONh，则AB2Rsin n2htan n 例2. 已知：如图2，在ABC中，ACB90，B25，以点C为圆心、AC为半径作C，交AB于点D，求的度数。图2分析：因为弧与垂径定理有关；与圆心角、圆周角有关；与弦、弦心距有关；弧与弧之间还存在着和、差、倍、半的关系，因此这道题有很多解法，仅选几种供参考。解法一：（用垂径定理求）如图21，过点C作CEAB于点E，交于点F。图21 又ACB90，B25，FCA25 的度数为25，的度数为50。 解法二：（用圆周角求）如图22，延长AC交C于点E，连结ED图22 AE是直径，ADE90 ACB90，B25，EB25 的度数为50。 解法三：（用圆心角求）如图23，连结CD图23 ACB90，B25，A65 CACD，ADCA65 ACD50，的度数为50。例3. 已知：如图3，ABC内接于O且ABAC，O的半径等于6cm，O点到BC的距离OD等于2cm，求AB的长。析：因为不知道A是锐角还是钝角，因此圆心有可能在三角形内部，还可能在三角形外部，所以需分两种情况进行讨论。略解：（1）假若A是锐角，ABC是锐角三角形。如图3，由ABAC，可知点A是优弧的中点，因为ODBC且ABAC，根据垂径定理推论可知，DO的延长线必过点A，连结BO BO6，OD2 在RtADB中，ADDOAO628 图3 图31（2）若A是钝角，则ABC是钝角三角形，如图31添加辅助线及求出，在RtADB中，ADAODO624AB综上所述AB小结：凡是与三角形外接圆有关的问题，一定要首先判断三角形的形状，确定圆心与三角形的位置关系，防止丢解或多解。 例4. 已知：如图4，AB是O的直径，弦CDAB，F是CD延长线上一点，AF交O于E。求证：AEEFECED图4分析：求证的等积式AEEFECED中，有两条线段EF、ED在EDF中，另两条线段AE、EC没有在同一三角形中，欲将其置于三角形中，只要添加辅助线AC，设法证明FEDCEA即可。证明：连结AC 四边形DEAC内接于圆 FDECAE，FEDDCA 直径ABCD， DCACEA，FEDCEA FEDCEA ，AEEFECED小结：四边形内接于圆这一条件，常常不是在已知条件中明确给出的，而是隐含在图形之中，在分析已知条件时，千万不要忽略这一重要条件。例5. 已知：如图5，AM是O的直径，过O上一点B作BNAM，垂足为N，其延长线交O于点C，弦CD交AM于点E。图5（1）如果CDAB，求证：ENNM；（2）如果弦CD交AB于点F，且CDAB，求证CE2EFED；（3）如果弦CD绕点C旋转，并且与AB的延长线交于点F，且CDAB，那么（2）的结论是否仍成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。证明：（1）连结BM（如图51）图51 AM是直径，ABM90 CDAB，BMCD ECNMBN，又AMBC，CNBN RtCENRtBMN，ENNM （2）连结BD，BE，AC（如图52）图52 点E是BC垂直平分线AM上一点，BEEC CDAB， ACDBDC，又ABAC，AEAE ABEACE，ABEACDBDC BED是公共角，BEDFEB BE2EFED，CE2EFED （3）结论成立。如图53图53 证明：仿（2）可证ABEACE BECE，且ABEACE 又ABCD， ACBDBC，BDAC BDEACE180 而FBEABE180 BDEFBE，而BED是公共角 BEDFEB BE2EFED，CE2EFED（二）直线与圆的关系 1. 直线与圆的位置关系直线和圆的位置相离相切相交公共点的个数012公共点名称无切点交点直线名称无切线割线圆心到直线的距离d与半径r的关系 2. 切线的判定 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 3. 切线的性质 （1）圆的切线垂直于经过切点的半径； （2）推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点； （3）推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。 此定理及推论可理解为以下三个条件中任知其中两个就可推出第三个：垂直于切线；经过切点；经过圆心。 4. 切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 5. 弦切角定理（1）弦切角等于它所夹的弧对的圆周角；（2）推论 如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等；（3）弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。 6. 和圆有关的比例线段（1）相交弦定理 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等；（2）推论 如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项；（3）切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项；（4）推论 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。 7. 三角形的内切圆（1）有关概念：三角形的内切圆、三角形的内心、圆的外切三角形、多边形的内切圆、圆的外切多边形；（2）作图：作一个圆，使它和已知三角形的各边都相切。例题分析 例6. 已知：如图6，AB是O的直径，C是AB延长线上一点，CG切O于D，DEAB于E。图6求证：CDBEDB。分析：由AB是O的直径，联想到直径的三个性质：图61 图62图63（1）直径上的圆周角是直角。若连结AD，则得RtABD；（2）垂径定理。如图62，若延长DE交O于F，则可得DEEF，；（3）过直径外端的切线与直径垂直。如图63，若过B点作O的切线BM，则ABBM。 由CD是O的切线，联想到切线的三个性质：（1）过切点的半径垂直于切线。如图61，若连结OD，则ODCD；（2）弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。若连结AD，则CDBA；（3）切割线定理。如图6，CD2CBCA。由DEAB于E，联想到以下一些性质：（1）RtDEB中两锐角互余，即EDBEBD90；（2）垂径定理。如图62，只要延长DE交O于F，则可得到相等的线段，相等的弧；（3）构造与射影定理相关的基本图形。即连结AD，则可得到ADB是直角三