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北师大版数学精品教学资料www.ks5u.com解三角形三角形中的有关问题1正弦定理: 利用正弦定理,可以解决以下两类有关三角形的问题: 已知两角和一边,求其他两边和一角; 已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角,从而进一步求出其他的边和角 2余弦定理: 利用余弦定理,可以解决以下两类有关三角形的问题 已知三边,求三角; 已知两边和它们的夹角,求第三边和其它两个角 3三角形的面积公式: 典型例题例1. 在ABC中,已知a,b,B45,求角A、C及边c解 A160 C175 c1A2120 C215 c2变式训练1:(1)的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,若a、b、c成等比数列,且,则 ( )A B C D解:B 提示:利用余弦定理(2)在ABC中,由已知条件解三角形,其中有两解的是 ( )A.B. C.D. 解:C 提示:在斜三角形中,用正弦定理求角时,若已知小角求大角,则有两解;若已知大角求小角,则只有一解(3)在ABC中,已知,则的值为( )A B C 或 D 解:A 提示:在ABC中,由 知角B为锐角(4)若钝角三角形三边长为、,则的取值范围是 解: 提示:由可得(5)在ABC中,= 解:提示:由面积公式可求得,由余弦定理可求得例2. 在ABC中,若 sinA2sinB cos C, sin2Asin2Bsin2C,试判断ABC的形状解:sinA2sinBcosCsin(BC)2sinBcosCsin(BC)0BCsin2Asin2Bsin2Ca2b2c2A90 ABC是等腰直角三角形。变式训练2:在ABC中,sinA=,判断这个三角形的形状.解:应用正弦定理、余弦定理,可得a=,所以b(a2b2)+c(a2c2)=bc(b+c).所以(b+c)a2=(b3+c3)+bc(b+c).所以a2=b2bc+c2+bc.所以a2=b2+c2.所以ABC是直角三角形. 例3. 已知在ABC中,sinA(sinBcosB)sinC0,sinBcos2C0,求角A、B、C解:由sinA(sinBcosB)sinC0,得sinAsinBsinAcosBsin(AB)0,所以sinB(sinAcosA)0B(0, ), sinB0, cosAsinA,由A(0, ),知A从而BC,由sinBcos2C0得sinBcos2(B)0cos(2B)cos2(2B)cos(2B)sin2B得sinBsin2B0,亦即sinB2sinBcosB0,由此各cosB,B,CA B C变式训练3:已知ABC中,2(sin2Asin2C)=(ab)sinB,ABC外接圆半径为.(1)求C;(2)求ABC面积的最大值.解:(1)由2(sin2Asin2C)=(ab)sinB得2()=(ab).又R=,a2c2=abb2.a2+b2c2=ab.cosC=.又0C180,C=60.(2)S=absinC=ab=2sinAsinB=2sinAsin(120A)=2sinA(sin120cosAcos120sinA)=3sinAcosA+sin2A=sin2Acos2A+=sin(2A30)+.当2A=120,即A=60时,Smax=.例4. 如图,已知ABC是边长为1的正三角形,M、N分别是边AB、AC上的点,线段MN经过ABC的中心G设MGA() (1)试将AGM、AGN的面积(分别记为S1与S2)表示为的函数; (2)求y的最大值与最小值解 (1) AG, 由正弦定理得,ANCBDMG(, (2)当当变式训练4:在在ABC中,所对的边分别为,且(1)求的值;(2)若,求的最大值;解:(1)因为,故 (2) 又,当且仅当时, ,故的最大值是
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