与椭圆有关的最值问题圆锥曲线在高考中占很重要的地位，每年必考。对椭圆、双曲线、抛物线的研究方法基本相同，椭圆 为三曲线之首，对椭圆的学习就更为重要了。而椭圆中的最值问题是比较重要的课题，它主要体现了转化 思想及数形结合的应用，涉及到的知识有椭圆定义、标准方程、参数方程、三角函数、二次函数、不等式 等内容。能够考查学生的分析能力、理解能力、知识迁移能力、解决问题的能力等等。下面介绍几种常见 的与椭圆有关的最值问题的解决方法。1 .定义法2 2例1。 P(-2, J3 ),F2为椭圆 上一 1的右焦点，点M在椭圆上移动，求| MP| + | MF2 |的最大值 25 16和最小值。分析：欲求I MP| + | MF |的最大值和最小值可转化为距离差再求。由此想到椭圆第一定义I MF | =2a- | MF | , F 1为椭圆的左焦点。解：| MP| + | MF | = | MP| +2a- | MF | 连接 PFI延长 PF1交椭圆于点M1,延长F1P交椭圆于点M2由三角形三边关系知-I PF | MP| - | MF| PF1 |当且仅当 M与M1重合时取右等号、 M与M2重合时取左等号。因为2a=10, IPF1 I =2 所以(IMP| + I MF I ) ma=12,(I MP| +1 MF I ) min=8结论1:设椭圆2x-2a2 y b21的左右焦点分别为 、F2, P(X0,y0)为椭圆内一点，M(x,y)为椭圆上任意一点，则I MP| + | MF |的最大值为 2a+ | PF1 | ,最小值为2a | PF1 |22例2: P(-2,6),F2为椭圆 y 1的右焦点，点 M在椭圆上移动，求| MP| + | MF |的最大值和 25 16最小值。分析点P在椭圆外，PF2交椭圆于M,此点使| MP| + | MF I值最小，求最大值方法同例 1。解：| MP| + | ME| = | MP| +2a- | MF |连接PF1并延长交椭圆于点 M1,则M在M 1处时| MP| - | MFI取最大值I PF1 I o .,.I MP I + I MF I最大值是10+J 37 ,最小值是 J41 。2x结论2:设椭圆一 a2/y71的左右焦点分别为Fi、F2, P(x0,y)为椭圆外一点，M(x,y)为椭圆上任意一点,b2贝U I MP| + I MF I的最大值为 2a+I PF1 I ,最小值为 PF2o2.二次函数法2一 x例3.求定点A(a,0)到椭圆一万a2y1上的点之间的最短距离。b2分析：在椭圆上任取一点，由两点间距离公式表示I PA| ,转化为x,y的函数，求最小值。解：设P(x,y)为椭圆上任意一点，| 一 ，1,10PA I =(x-a) +y =(x-a) +1x=(x2a)?+1-a 由椭圆方22程知x的取值范围是-8J2 (1)若 | a |Y!,则 x=2a 时 | PA | m.min(2)2 一右 a ,则 x= J2 时 | PA | min= |(3)若 a 22，则 | PA | min = | a+ J2 I22结论3:椭圆：x_匕 1上的点M(x,y)到定点A(m,0)或B(0,n)距离的最值问题，可以用两点间距离公式a2b2I ,通过动点在椭圆上消去 y或x,转化为二次函数求最值，注意自变量的取值范围。3.三角函数法2x例4:椭圆1上的点M(x,y)到直线l ： x+2y=4的距离记为d,求d的最值。分析：若按例3那样d=x 2y 4转化为x.5或y的函数就太麻烦了，为了统一变量，可以用椭圆的参数方程，即三角换元。解：d=x 2y、52 cossind=2 cos 2sin 452 =5、2 sin(当 sin (一)=1 时,dmin=44.5 2.10当 sin (4 5 2 10时,dmax=22结论4:若椭圆 jy1上的点到非坐标轴上的定点的距离求最值时a b，可通过椭圆的参数方程,统一变量转化为三角函数求最值。4.判别式法例4的解决还可以用下面方法把直线平移使其与椭圆相切，有两种状态，一种可求最小值，另一种求最大值。解。令直线 m： x+2y+c=0将x= 2y c代入椭圆方程整理得 8y2+4cy+c2-4=0,由 =0解彳导c=+ 2V2 , c=- 22时直线m： x+2y- 2 J2 =0与椭圆切于点P则P到直线l的距离为最小值，且最小值就是两平行一.-一4.5 2. 10直线m与l的距离，所以 dmin=50=272时直线m： x+2y+2j5=0与椭圆切于点Q,则Q到直线l的距离为最大值，且最大值就是两平行直线m与l的距离，所以dmax= 4=5 210。5结论5：椭圆上的点到定直线l距离的最值问题，可转化为与l平行的直线m与椭圆相切的问题，利用判 别式求出直线m方程，再利用平行线间的距离公式求出最值。说明：有些题目可以用几种不同的方法去解决，我们必须清楚它们的最优解法，以便提高做题速度及准确