2019年编人教版高中数学一、选择题1(2013东营高二检测)已知平面的法向量为a(1,2，2)平面的法向量为b(2，4，k)，若，则k()A4 B4 C5 D5【解析】，ab，ab282k0k5.【答案】D2(2012青岛高二检测)在菱形ABCD中，若是平面ABCD的法向量，则以下等式中可能不成立的是()A. B.C. D.【解析】由题意知PA平面ABCD，所以PA与平面上的线AB、CD都垂直，A、B正确；又因为菱形的对角线互相垂直，可推得对角线BD平面PAC，故PCBD，C选项正确【答案】D3已知平面内的三点A(0,0,1)，B(0,1,0)，C(1,0,0)，平面的一个法向量为n(1，1，1)，且与不重合，则()A BC与相交不垂直 D以上都不对【解析】(0,1，1)，(1,0，1)，n0，n0，n，n，故n也是的一个法向量，又与不重合，.【答案】A4已知(1,5，2)，(3,1，z)，若，(x1，y，3)，且BP平面ABC，则实数x，y，z分别为()A.，4 B.，4C.，2,4 D4，15【解析】，0，即352z0，得z4，又BP平面ABC，则解得【答案】B5平面上有四个互异的点A，B，C，D，已知(2)()0，则ABC的形状是()A直角三角形 B等腰三角形C等腰直角三角形 D等边三角形【解析】(2)()()()0，故ABC为等腰三角形【答案】B二、填空题6直线l1与l2的方向向量分别为a1，a2，若a1a2，则l1与l2的位置关系为_【解析】两直线的方向向量垂直，这两条直线也垂直【答案】垂直7(2013吉林高二检测)已知直线l与平面垂直，直线l的一个方向向量u(1，3，z)，向量v(3，2,1)与平面平行，则z_.【解析】由题意知uv，uv36z0，z9.【答案】98已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果(2，1，4)，(4,2,0)，(1,2，1)对于结论：APAB；APAD；是平面ABCD的法向量；.其中正确的是_【解析】0，0，ABAP，ADAP，则正确又与不平行，是平面ABCD的法向量，则正确由于(2,3,4)，(1,2，1)，与不平行，故错误【答案】三、解答题图32159如图3215，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB，AF1，M是线段EF的中点求证：AM平面BDF.【证明】以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(，0)，B(0，0)，D(，0,0)，F(，1)，M(，1)所以(，1)，(0，1)，(，0)设n(x，y，z)是平面BDF的法向量，则n，n，所以取y1，得x1，z.则n(1,1，)因为(，1)所以n ，得n与共线所以AM平面BDF.图321610在四面体ABCD中，AB面BCD，BCCD，BCD90，ADB30，E、F分别是AC、AD的中点，求证：平面BEF平面ABC.【证明】建立如图所示空间直角坐标系，取A(0,0，a)，由ADB30，可得D(0，a,0)，C(a，a,0)，B(0,0,0)，E(a，a，)，F(0，a，)，(a，a,0)，(0,0，a)，(a，a,0)，0，0，EFAB，EFBC，EF面ABC，又EF面BEF，面BEF面ABC.11在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱CC1上的动点，(1)求证：A1EBD；(2)若平面A1BD平面EBD，试确定E点的位置【解】(1)证明分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为a.依题意可得，A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，A1(a,0，a)，C1(0，a，a)设E(0，a，e)(a，a，ea)，又(a，a,0)，a2a20.，即A1EBD.(2)E为CC1的中点，证明如下：设BD的中点为O，连结A1O，OE.则O(，0)，(，e)，(，a)A1BA1D，O为BD中点，A1OBD.又平面A1BD平面EBD，A1O平面EBD.A1OOE.又(a，a,0)，则0，0，即，e.当E为CC1的中点时，能使平面A1BD平面EBD.