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高等数学模拟试题1一、填空题1.函数的定义域为_.2.3.曲线在点(2,6)处的切线方程为_.二、选择题1. 设在点处可导,且,则( ) 2. .当时, 与比较是 ( ).(A).较高阶的无穷小 (B). 较低阶的无穷小 (C). 同阶但不等价的无穷小 (D).等价的无穷小3.设曲线在点M处的切线斜率为3,则点M的坐标为( ) 三、计算题1.计算2.设求全导数3.求微分方程的通解.4.求幂级数的收敛域.答案 一、填空题:1.分析 初等函数的定义域,就是使函数表达式有意义的那些点的全体.解 由知,定义域为.2. 分析 属型,套用第二个重要极限.解 .3.解 ,,所求切线方程为:,即.二、选择题1. 解 .选2. 分析 先求两个无穷小之比的极限,再做出正确选项.解 因,故选(A).3. 解 由知, 又,故选(A). 三、计算题1.分析 属型未定式,利用等价无穷小代换,洛必达法则等求之.解 .2.解 .3.分析 属一阶线性微分方程,先化成标准形,再套用通解公式.解 原方程化为: ,通解为: .4.分析 先求收敛半径,收敛区间,再讨论端点处的敛散性,从而确定收敛区域.解 收敛半径:, 收敛区间为(-1,1)在处,级数收敛;在处,级数收敛,所以收敛域为:-1,1.高数模拟试卷2一. 选择题:本大题共5个小题,每小题4分,共20分。在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后的括号内。 *1. 函数在点不连续是因为( ) A. B. C. 不存在D. 不存在 答案:C不存在。 2. 设为连续函数,且,则下列命题正确的是( ) A. 为上的奇函数 B. 为上的偶函数 C. 可能为上的非奇非偶函数 D. 必定为上的非奇非偶函数 *3. 设有单位向量,它同时与及都垂直,则为( ) A. B. C. D. 解析: ,应选C。 4. 幂级数的收敛区间是( ) A. B. C. D. *5. 按照微分方程通解的定义,的通解是( ) A. B. C. D. (其中是任意常数) 解析:,故选A。二. 填空题:本大题共10个小题,10个空,每空4分,共40分,把答案填在题中横线上。 6. 设为连续函数,则_。 *7. 函数的单调递减区间是_。 解析: 当时,故y单调递减,故单调区间是(-2,1) 8. 设是的一个原函数,则_。 *9. 设,则_。 解析: *10. 设,其中k为常数,则_。 解析: 11. 设,则_。 *12. 微分方程的通解为_。 解析:方程改写为,两边积分得: 即 13. 点到平面的距离_。 *14. 幂级数的收敛区间是_(不含端点)。 解析:,收敛半径 由得:,故收敛区间是(-3,5) 15. 方程的通解是_。三. 解答题:本大题共13个小题,共90分。 16. 求极限。 *17. 设,求。 解: 所以 *18. 求函数在区间上的最大值与最小值。 解:函数在处不可导, 令得驻点,求得 于是y在上的最大值为,最小值为 19. 求不定积分。 20. 设由方程确定,求。 21. 若区域D:,计算二重积分。 *22. 求过三点A(0,1,0),B(1,-1,0),C(1,2,1)的平面方程。 平面方程为: ,即 *23. 判定级数的收敛性。 解:因为是公比的等比级数从而收敛,再考察级数 其中满足, 由莱布尼兹判别法知收敛,级数收敛。(两收敛级数之和收敛) 24. 求方程的一个特解。 *25. 证明: 解: 又 由、得: 26. 设为连续函数,且,求。 *27. 设抛物线过原点(0,0)且当时,试确定a、b、c的值。使得抛物线与直线,所围成图形的面积为,且使该图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积最小。 解:因抛物线过原点(0,0),有 依题意,如图所示阴影部分的面积为 该图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积为 令,得驻点: 由问题的几何意义可知,当,从而时,旋转体的体积最小,于是所求曲线为 *28. 求幂级数的和函数,并由此求级数的和。 解:令,则且有 又 于是高等数学模拟试题2一、选择题1、函数的定义域为 A,且 B, C, D,且2、下列各对函数中相同的是: A, B, C, D,3、当时,下列是无穷小量的是: A, B, C, D,4、是的A、连续点 B、跳跃间断点 C、可去间断点 D、第二类间断点5、若,则A、-3 B、-6 C、-9 D、-126. 若可导,则下列各式错误的是 A BC D 7. 设函数具有2009阶导数,且,则A B C 1 D 8. 设函数具有2009阶导数,且,则 A 2 BC D9. 曲线 A 只有垂直渐近线 B 只有水平渐近线C 既有垂直又有水平渐近线 D既无垂直又无水平渐近线10、下列函数中是同一函数的原函数的是:A, B, C, D,11、设,且,则A, B, +1 C,3 D, 12、设,则 A, B, C, D, 13、,则A, B, C, D, 14. 若,则 ABC D 15. 下列积分不为的是 A B C D 16. 设在上连续,则 A B C D 17. 下列广义积分收敛的是_. A B C D 18、过(0,2,4)且平行于平面的直线方程为 A, B, C, D,无意义 19、旋转曲面是 A,面上的双曲线绕轴旋转所得 B,面上的双曲线绕轴旋转所得 C,面上的椭圆绕轴旋转所得 D,面上的椭圆绕轴旋转所得20、设,则 A,0 B, C,不存在 D,121、函数的极值点为 A,(1,1) B,(1,1) C,(1,1)和(1,1) D,(0,0)22、设D:,则 A, B, C, D, 23、交换积分次序, A, B, C, D,24. 交换积分顺序后,_。 A B C D 25. 设为抛物线上从点到点的一段弧,则A B C D 26. 幂级数的和函数为 A B C D 27、设,则级数 A, 与都收敛 B,与都发散 C, 收敛,发散 D,发散,收敛28、的通解为 A, B, C, D,29、的特解应设为: A, B, C, D,30. 方程的特解可设为 A B C D二、填空题31. 设的定义域为,则的定义域为_.32.已知,则_33. 设函数在内处处连续,则=_.34.函数在区间上的最大值为_35函数的单调增加区间为_36.若,则_37. 函数的垂直渐进线为_38. 若,在连续,则_39. 设_40. 设,则 41. 二重积分,变更积分次序后为 42. L是从点(0,0)沿着的上半圆到(1,1)的圆弧,则= 43. 将展开成的幂级数 .44. 是敛散性为_的级数。45. 是微分方程的特解,则其通解为_.三、计算题 46. 求47. 设,求及.48. 求不定积分.49. 设,求50. 已知求51. 计算,其中D由围成。52. 将展开成麦克劳林级数53. 求的通解四、应用题54. 设上任一点处的切线斜率为,且该曲线过点(1) 求(2) 求由,所围成图像绕轴一周所围成的旋转体体积。55. 用定积分计算椭圆围成图形的面积,并求该图形绕轴旋转所得旋转体的体积。五、证明题56.设在区间上连续,在区间内可导,且,证明在内至少存在一点,使。第一套答案一,选择题DDDCD DDBCD ACDDC AACAD BCBCC BCCAD 二填空题31 32 331 345 35x0 3637 381/3 39 4041 422 43 44发散 45三.计算题4647,4849
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