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第三节等比数列及其前n项和 考纲传真1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系,并能用等比数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等比数列与指数函数的关系(对应学生用书第72页) 基础知识填充1等比数列的有关概念(1)定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零),那么这个数列就叫做等比数列这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母q表示,定义的表达式为q(nN*,q为非零常数)(2)等比中项:如果在a与b中插入一个数G,使得a,G,b成等比数列,那么根据等比数列的定义,G2ab,G,那么G叫作a与b的等比中项即:G是a与b的等比中项a,G,b成等比数列G2aB2等比数列的通项公式与前n项和公式(1)通项公式:ana1qn1.(2)前n项和公式:Sn3等比数列的性质已知an是等比数列,Sn是数列an的前n项和(1)若klmn(k,l,m,nN),则有akalaman.(2)等比数列an的单调性:当q1,a10或0q1,a10时,数列an是递增数列;当q1,a10或0q1,a10时,数列an是递减数列;当q1时,数列an是常数列(3)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列,即ak,akm,ak2m,仍是等比数列,公比为qm.(4)当q1,或q1且n为奇数时,Sn,S2nSn,S3nS2n仍成等比数列,其公比为qn.知识拓展1“G2ab”是“a,G,b成等比数列”的必要不充分条件2若q0,q1,则Snkkqn(k0)是数列an成等比数列的充要条件,此时k.基本能力自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”,错误的打“”)(1)满足an1qan(nN*,q为常数)的数列an为等比数列()(2)G为a,b的等比中项G2aB()(3)若an为等比数列,bna2n1a2n,则数列bn也是等比数列()(4)数列an的通项公式是anan,则其前n项和为Sn.()答案(1)(2)(3)(4)2(2018广州模拟)已知等比数列an的公比为,则的值是()A2BCD2A2.3(2017东北三省四市一联)等比数列an中,an0,a1a26,a38,则a6() 【导学号:00090168】A64B128 C256D512A设等比数列的首项为a1,公比为q,则由解得或(舍去),所以a6a1q564,故选A4(教材改编)在9与243中间插入两个数,使它们同这两个数成等比数列,则这两个数为_27,81设该数列的公比为q,由题意知,2439q3,q327,q3.插入的两个数分别为9327,27381.5(2018长春模拟)在数列an中,a12,an12an,Sn为an的前n项和若Sn126,则n_.6a12,an12an,数列an是首项为2,公比为2的等比数列又Sn126,126,解得n6.(对应学生用书第72页)等比数列的基本运算(1)(2018合肥模拟)已知Sn是各项为正数的等比数列an的前n项和,a2a416,S37,则a8()A32B64C128D256(2)已知数列an是递增的等比数列,a1a49,a2a38,则数列an的前n项和等于_(1)C(2)2n1(1)an为等比数列,a2a416,a34.a3a1q24,S37,S23,(1q2)3(1q),即3q24q40,q或q2.an0,q2,则a11,a827128.(2)设等比数列的公比为q,则有解得或又an为递增数列,Sn2n1.规律方法1.等比数列的通项公式与前n项和公式共涉及五个量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,体现了方程思想的应用2在使用等比数列的前n项和公式时,应根据公比q的情况进行分类讨论,在运算过程中,应善于运用整体代换思想简化运算变式训练1(1)在等比数列an中,a37,前3项和S321,则公比q的值为()A1B C1或D1或(2)设等比数列an的前n项和为Sn,若27a3a60,则_. 【导学号:00090169】(1)C(2)28(1)根据已知条件得得3.整理得2q2q10,解得q1或q.(2)由题可知an为等比数列,设首项为a1,公比为q,所以a3a1q2,a6a1q5,所以27a1q2a1q5,所以q3,由Sn,得S6,S3,所以28.等比数列的判定与证明(2016全国卷)已知数列an的前n项和Sn1an,其中0.(1)证明an是等比数列,并求其通项公式;(2)若S5,求.解(1)证明:由题意得a1S11a1,2分故1,a1,故a10.3分由Sn1an,Sn11an1得an1an1an,即an1(1)an.5分由a10,0得an0,所以.因此an是首项为,公比为的等比数列,于是ann1.7分(2)由(1)得Sn1n.9分由S5得15,即5.10分解得1.12分规律方法等比数列的判定方法(1)定义法:若q(q为非零常数,nN*),则an是等比数列(2)等比中项法:若数列an中,an0,且aanan2(nN*),则数列an是等比数列(3)通项公式法:若数列通项公式可写成ancqn(c,q均是不为0的常数,nN*),则an是等比数列说明:前两种方法是证明等比数列的常用方法,后者常用于选择题、填空题中的判定变式训练2已知数列an的前n项和为Sn,数列bn中,b1a1,bnanan1(n2),且anSnn.(1)设cnan1,求证:cn是等比数列;(2)求数列bn的通项公式解(1)证明:anSnn,an1Sn1n1,得an1anan11,即2an1an1,2(an11)an1,即2cn1cn.3分由a1S11得a1,c1a11,从而cn0,.数列cn是以为首项,为公比的等比数列.6分(2)由(1)知cnn1n,7分又cnan1,ancn11n,9分当n2时,bnanan11nn.又b1a1,适合上式,故bnn.12分等比数列的性质及应用(1)(2016安徽六安一中综合训练)在各项均为正数的等比数列an中,若 am1am12am(m2),数列an的前n项积为Tn,若T2m1512,则m的值为()A4 B5 C6 D7(2)设等比数列an的前n项和为Sn,若3,则() 【导学号:00090170】A2 B CD3(1)B(2)B(1)由等比数列的性质可知am1am1a2am(m2),所以am2,即数列an为常数列,an2,所以T2m122m151229,即2m19,所以m5,故选B(2)法一:由等比数列的性质及题意,得S3,S6S3,S9S6仍成等比数列,由已知得S63S3,即S9S64S3,S97S3,.法二:11q33,所以q32.则.规律方法1.在解决等比数列的有关问题时,要注意挖掘隐含条件,利用性质,特别是性质“若mnpq,则amanapaq”,可以减少运算量,提高解题速度2等比数列的性质可以分为三类:一是通项公式的变形;二是等比中项的变形,三是前n项和公式的变形根据题目条件,认真分析,发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口变式训练3(1)(2017合肥三次质检)在正项等比数列an中,a1 008a1 009,则lg a1lg a2lg a2 016()A2 015B2 016C2 015D2 016(2)(2018湖北六校联考)在数列an中,a11,an12an,则Snaaaaaa等于()A(2n1) B(124n)C(4n1)D(12n)(1)D(2)B(1)lg a1lg a2lg a2 016lg a1a2a2 016lg(a1 008a1 009)1 008lg1 008lg1 0082 016,故选D(2)在数列an中,由a11,an12an,可得an2n1,则Snaaaaaa14166442n242n1(142n)(124n)
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