奇偶性 习题（含答案） 一、单选题1若x ，yR，且f(x+y)=f(x)+f(y)，则函数f(x)满足()A f(x)为增函数且为偶函数 B f(0)=0且f(x)为偶函数C f(x)为增函数且为奇函数 D f(0)=0且f(x)为奇函数2下列函数是偶函数的是()A f(x)=x3 B f(x)=|x| C f(x)=x+1x D f(x)=x2+2x3函数f(x)=xlnx2的图象大致是()A B C D 4下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是 ()A y=1+x2 B y=x+ex C y=x+1x D y=2x+12x5下列函数在定义域内是奇函数且单调函数的为()A y=-1x B y=x2 C y=x+1x D y=-x|x|6下列函数为奇函数的是（ ）A f(x)=x3+3x2 B f(x)=2x+2-x C f(x)=xsinx D f(x)=ln3+x3-x7已知函数fx是奇函数，当x0时，fx=xlnx，则x0的解集为_.14已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)=x2-2ax+a，其中aR f(-12)=_；若f(x)的值域是R，则a的取值范围是_15已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)+g(x)=x3+x2+1,则f(1)-g(1)=_三、解答题16已知定义在R上的偶函数y=f(x)，当x0时，f(x)=xx+1；（1）判断函数f(x)在0,+)上的单调性，并用单调性定义证明；（2）解不等式：f(2x-1)0时,fx=x3-2x.（1）求fx的解析式.（2）若对任意的tR,不等式ft2-2t+f(2t2-k)0恒成立,求实数k的取值范围.试卷第3页，总3页 参考答案1D【解析】【分析】根据题意，用特殊值法分析：令x=y=0 可得：f0=f0+f0，变形可得f0 的值，再令x=-y可得：f0=fx+f-x=0，即f-x=-f-x，即可得函数的奇偶性，综合可得答案【详解】解：根据题意，若x，yR，且f(x+y)=f(x)+f(y)，当x=y=0可得：f(0)=f(0)+f(0)，变形可得f(0)=0，令x=-y可得：f(0)=f(x)+f(-x)=0，即f(-x)=-f(-x)，函数f(x)为奇函数；故选：D【点睛】本题考查抽象函数的奇偶性的判断，注意用特殊值法分析，属于基础题2B【解析】【分析】对给出的四个选项分别进行分析、判断后可得正确的结论【详解】对于A，函数f(x)=x3为奇函数，所以A不正确对于B，函数f(x)=|x|为偶函数，所以B正确对于C，函数f(x)=x+1x为奇函数，所以C正确对于D，函数f(x)=x2+2x为非奇非偶函数，所以D不正确故选B【点睛】本题考查函数的奇偶性，解题的关键是熟记一些常见函数的性质，属于基础题3A【解析】【分析】直接利用函数的奇偶性及特殊值对应点的坐标判断选项即可【详解】由题意知，f(x)=f(-x)可知函数为奇函数，排除C、D,当x=1e时，函数f（1e）=1e2ln1e0时函数解析式；代入x的值求得点的坐标，利用导数求得切线的斜率，结合直线的点斜式即可求得切线方程。【详解】因为函数fx是奇函数，且当x0，则-x0,fx=xlnx-x+1所以fx=lnx ，则k=fe=lne=1而fe=1，所以切点为e,1 所以切线方程为y=x-e+1 所以选D【点睛】本题考查了函数解析式的求法，过曲线上一点切线方程的求法，属于基础题。8A【解析】【分析】利用函数奇偶性定义首先判断函数奇偶性，再根据：增函数+增函数=增函数可判断函数是增函数.【详解】已知函数f(x)=ex-e-xf-x=e-x-ex=-fx 则函数为奇函数；y=ex 是增函数，y=-e-x 是增函数；则函数f(x)=ex-e-x是增函数；故选A【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的判断，是基础题；意在考查函数奇偶性、单调性的判断方法，是考试中常见题型.9B【解析】【分析】设x0由奇函数的性质f（-x）=-f（x），求出x0函数f（x）的解析式，【详解】设x0，所以f-x=-xln-x.又因为fx是定义在R上的奇函数，所以f-x=-fx，所以fx=xln-x.故选B.【点睛】本题考查函数的奇偶性的综合运用，属基础题.10B【解析】【分析】根据恒成立问题转化为对应函数最值问题，再根据一次函数单调性转化为对应不等式组，最后解得结果.【详解】因为对所有的x1,1都满足f(x)t22at1，所以f(x)maxt2-2at+1，因为奇函数f(x)在1,1上是增函数，且f(1)1，所以f(x)max=f(1)=-f(-1)=1，即1t2-2at+1,0t2-2at，因为对任意的a1,1都满足0t2-2at,所以0t2-2t0t2+2tt=0或t2或t-2，选B.【点睛】不等式有解问题与恒成立问题，都可转化为最值问题，即f(x)f(x)max，f(x)a恒成立a0|x+3|3，即x-2,0)(0,2，此时x+30恒成立f(x)=4-x2xf(-x)=-4-x2x=-f(x)f(-a)=-f(a)=4故答案为412-2【解析】【分析】根据偶函数的定义可得f(-x)=f(x)，由此可求得a=-2【详解】函数f(x)是偶函数，f(-x)=f(x)，即-a+1x+log21+4-x+2=(a+1)x+log2(1+4x)+2，整理得2(a+1)x=log21+4-x-log21+4x=log21+4-x1+4x=log24-x=-2x，2(a+1)=-2，解得a=-2故答案为-2【点睛】解答类似问题时，要先根据奇偶性的定义得到恒等式，经过变形后比较系数可得所求的参数的值，对于选择题和填空题来说，也可以利用特殊值的方法来求解13-2,00,2【解析】【分析】不等式f(x)x0等价于xfx0，可得x0fx0或x0fx0x2和x-2，从而可得结果.【详解】函数fx为奇函数，且在-,0上单调递减，fx在0,+上单调递减，即函数fx为奇函数，且在-,+上单调递减，不等式f(x)x0等价于xfx0，函数fx为奇函数，且f2=0,f-2=-f2=0xfx0可变形为x0fx0=f2（1）或x0fx0x20x2；不等式组（2)的解为x-2-2x0的解集为-2,00,2，故答案为-2,