第2章 投影的基本知识21投影法概述211投影的概念在日常生活中，人们经常可以看到，物体在日光或灯光的照射下，就会在地面或墙面上留下影子，如图2-1a所示。人们对自然界的这一物理现象经过科学的抽象，逐步归纳概括，就形成了投影方法。在图2-1b中，把光源抽象为一点，称为投射中心，把光线抽象为投射线，把物体抽象为形体（只研究其形状、大小、位置，而不考虑它的物理性质和化学性质的物体），把地面抽象为投影面，即假设光线能穿透物体，而将物体表面上的各个点和线都在承接影子的平面上落下它们的投影，从而使这些点、线的投影组成能够反映物体形状的投影图。这种把空间形体转化为平面图形的方法称为投影法。a)影子 b)投影 图2-1 影子与投影要产生投影必须具备：投射线、形体、投影面，这是投影的三要素。212投影的分类根据投射线之间的相互关系，可将投影法分为中心投影法和平行投影法。1中心投影法当投射中心S在有限的距离内，所有的投射线都汇交于一点，这种方法所得到的投影，称为中心投影，如图2-2所示。在此条件下，物体投影的大小，随物体距离投射中心S及投影面P的远近的变化而变化，因此，用中心投影法得到物体的投影不能反映该物体真实形状和大小。图2-2 中心投影2平行投影法把投射中心S移到离投影面无限远处，则投射线可看成互相平行，由此产生的投影称为平行投影。因其投射线互相平行，所得投影的大小与物体离投影中心及投影面的远近均无关。在平行投影中，根据投射线与投影面之间是否垂直，又分为斜投影和正投影两种：投射线与投影面倾斜时称为斜投影，如图2-3a所示；投射线与投影面垂直时称为正投影，如图2-3b所示。a)斜投影法 b)正投影法图2-3 平行投影213平行投影的特性 1同素性 在通常情况下，直线或平面不平行（垂直）于投影面，因而点的投影仍是点，直线的投影仍是直线。这一性质称为同素性。2显实性（真形性）当直线或平面平行于投影面时，它们的投影反映实长或实形。如图2-4a所示，直线AB平行于H面，其投影ab反映AB的真实长度，即ab=AB。如图2-4b所示，平面ABCD平行于H面，其投影反映实形，即三角形abc三角形ABC。这一性质称为显实性。 a) b)图2-4 平行投影的显实性3积聚性当直线或平面平行于投射线（同时也垂直于投影面）时，其投影积聚为一点或一直线。这样的投影称为积聚投影。如图2-5a所示，直线AB平行于投影线，其投影积聚为一点a(b)；如图2-5 b所示；平面三角形ABC平行于投影线，其投影积聚为一直线ac。投影的这种性质称为积聚性。 a) b)图2-5 平行投影的积聚性4类似性（仿形性）当直线或平面倾斜于投影面时，直线在该投影面上的投影短于实长，见图2-6a；而平面在该投影面上的投影要发生变形，比原实形要小，但与原形对应线段间的比值保持不变，所以在轮廓间的平行性、凸凹性、直曲等方面均不变，见图2-6b；这种情况下，直线和平面的投影不反映实长或实形，其投影形状是空间形状的类似形，因而把投影的这种性质称为类似性。 a) b) 图2-6 平行投影的类似性5平行性当空间两直线互相平行时，它们在同一投影面上的投影仍互相平行。如图2-7a所示，空间两直线ABCD，则平面ABba平面CDdc,两平面与投影面H的交线ab、cd必互相平行。这一性质称为平行性。6从属性与定比性点在直线上，则点的投影必定在直线的投影上。如图2-7b所示，CAB,则cab,这一性质称为从属性。点分线段的比例等于点的投影分线段的投影所成的比例，如图2-7b所示，CAB，则AC:CB=ac:cb,这一性质称为定比性。 a) b)图2-7 平行投影的平行性、从属性与定比性214工程上常用的投影图如前所述，工程技术图样是用来表达工程对象的形状、结构和大小的，一般要求根据图样就能够准确、清楚的判断度量出物体的形状和大小，但有时也要求图样的直观性好，易读懂，富有立体感。因此，为满足不同的需要，常用的投影图有：正投影图 、轴测投影图、透视投影图、标高投影图等。1多面正投影图用正投影法把形体向两个或两个以上互相垂直的投影面上进行投影，再按一定的规律将其展开到一个平面上，这样所得到的投影图称为多面正投影图，如图2-8所示。它是工程上最主要的使用最广泛的图样。这种图样的优点是能够真实准确地反映物体的形状和大小，作图方便，度量性好；其缺点是立体感差，不易看懂。2轴测投影图轴测投影图是物体在一个投影面上的平行投影，简称轴测图。将物体安置于投影面体系中合适的位置，选择适当的投射方向，即可得轴测图，如图2-9所示。这种图立体感强，容易看懂，但度量性差，作图较麻烦，并且对复杂形体也难以表达清楚，因而工程中常用作辅助图样来使用。3透视投影图透视投影图是将物体在单个投影面上用中心投影法得到的投影图，简称为透视图。这种图形象逼真，如照片一样，非常接近于人们的视觉感受，但它度量性差，作图繁杂，如图2-10所示。在建筑设计中常用它来绘制大型工程项目及房屋、桥梁等建筑物的效果图。 图2-8 多面正投影图 图2-9 斜轴测图 图2-10 透视图4标高投影图标高投影图是一种带有数字标记的单面正投影图。它用正投影法在物体的水平投影上加注某些特征线、面以及控制点的高程数值，来同时反映物体的长度、宽度和高度方向上的结构、尺寸，如图2-11所示。这种图作图较简单，但立体感较差，常用来表达地面的形状，各种不规则曲面，土木建筑工程设计以及军事地图等。图2-11 标高投影图由于多面正投影图被广泛地用来绘制工程图样，所以正投影法是本书介绍的主要内容，以后所说的投影，如无特殊说明均指正投影。22 物体的三视图工程上绘制图样的方法主要是正投影法。但用正投影法绘制一个投影图来表达物体的形状往往是不够的。如图2-12所示，四个形状不同的物体在投影面H上具有相同的正投影，单凭这个投影图来确定物体的唯一形状，是不可能的。a) b) c)图2-12 不同形体的单面投影图2-13 不同形体的两面投影如果对一个较为复杂的形体，即便是向两个投影面做投影，其投影也就只能反映它的两个面的形状和大小，亦不能确定物体的唯一形状。如图2-13所示三个形体，它们的H、W投影相同，要凭这两面的投影来区分它们的形状，是不可能的。因此，若要使正投影图唯一确定物体的形状结构，仅有一面或两面投影是不够的，必须采用多面投影的方法，为此，我们设立了三投影面体系。221三投影面体系的建立将三个两两互相垂直的平面作为投影面，组成一个三投影面体系，如图2-14所示。其中水平投影面用H标记，简称水平面或H面；正立投影面用V标记，简称正立面或V面；侧立投影面用W标记，简称侧面或W面。两投影面的交线称为投影轴，H面与V面的交线为OX轴，H面与W面的交线为OY轴，V面与W面的交线为OZ轴，三条投影轴两两互相垂直并汇交于原点O。图2-14 三投影面体系 图2-15 三视图的形成 图2-16 三投影面体系的展开 图2-17 形体的三视图222三视图的形成用正投影法，将物体向投影面投射所得到的图形，称为视图。将物体放置于三面投影体系中，并注意安放位置适宜，即把形体的主要表面与三个投影面对应平行，用正投影法进行投影，即可得到三个方向的正投影图，如图2-15所示。从前向后投影，在V面得到正面投影图，叫主视图；从上向下投影，在H面上得到水平投影，叫俯视图；从左向右投影，在W面上得到侧面投影图，叫左视图。这样就得到了物体的主、俯、左三个视图。为了把三个投影面上的投影画在一张二维的图纸上，我们假设沿OY投影轴将三投影面体系剪开，保持V面不动，H面沿OX轴向下旋转90，w面沿OZ轴向后旋转90，展开三投影面体系，使三个投影面处于同一个平面内，如图2-16所示。需要注意的是：这时Y轴分为两条，一条随H面旋转到OZ轴的正下方，用YH表示；一条随W面旋转到OX轴的正右方，用YW表示，如图2-17a所示。实际绘图时，在投影图外不必画出投影面的边框，也不注写H、V、W字样，也不必画出投影轴（又叫无轴投影），只要按方位置和投影关系，画出主、俯、左三个视图即可，如图2-17b，这就是形体的三面正投影图，简称三视图。223三视图之间的投影关系在三投影面体系中，形体的X轴方向尺寸称为长度，Y轴方向尺寸称为宽度，Z轴方向尺寸称为高度，如图2-17b 所示。在形体的三面投影中，水平投影图和正面投影图在X轴方向都反映物体的长度，它们的位置左右应对正，即“长对正”。正面投影图和侧面投影图在Z轴方向都反映物体的高度，它们的位置上下应对齐，即“高平齐”；水平投影图和侧面投影图在Y轴方向都反映物体的宽度，这两个宽度一定相等，即“宽相等”。主俯视图长对正；主左视图高平齐；俯左视图宽相等。这称为“三等关系”，也称“三等规律”，它是形体的三视图之间最基本的投影关系，是画图和读图的基础。应当注意，这种关系无论是对整个物体还是对物体局部的每一点、线、面均符合。224三视图之间的位置关系在看图和画图时必须注意，以主视图为准，俯视图在主视图的正下方，左视图在主视图的正右方。画三视图时，一般应按上述位置配置，且不需标注其名称。225物体与三视图之间的方位关系物体在三面投影体系中的位置确定后，相对于观察者，它在空间就有上、下、左、右、前、后六个方位，如图2-18a所示。每个投影图都可反映出其中四个方位。V面投影反映形体的上、下和左、右关系，H面投影反映形体的前、后和左、右关系，W面投影反映形体的前、后和上、下关系，如图2-18b所示。而且，俯、左视图远离主视图的一侧反映的是物体的前面，靠近主视图的一侧反映的是物体的后面。图2-18 三视图的方位关系226画三视图的方法与步骤绘制形体的三视图时，应将形体上的棱线和轮廓线都画出来，并且按投影方向，可见的线用实线表示，不可见的线用虚线表示，当虚线和实线重合时只画出实线。绘图前，应先将反映物体形状特征最明显的方向作为主视图的投射方向，并将物体放正，然后用正投影法分别向各投影面进行投影，如图2-19a。先画出正面投影图，然后根据“三等关系”，画出其它两面投影。“