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浅谈仿射变换在解决椭圆问题中的应用文1介绍了在解决椭圆的某些综合问题时,可以利用仿射变换的办法,把椭圆变换为圆来进行研究,会使得问题的解决过程变得简化.笔者也结合自身的教学与解题实践,通过几道例题,浅谈一下仿射变换在解决椭圆综合问题中的一些用法.例1 已知椭圆,为坐标原点,为椭圆右顶点,若椭圆上存在点(异于点),使得,则椭圆离心率的取值范围为_.分析 此题中的点满足,即点在以为直径的圆上,也即椭圆与以为直径的圆有不同于点的公共点.利用仿射变换将椭圆变换为圆,点变换为点,则点与点的纵坐标之比即为椭圆短半轴与长半轴之比.解 作仿射变换,令,可得仿射坐标系,在此坐标系中,上述椭圆变换为圆,原坐标系中以为直径的圆的方程为,则,不难求得椭圆离心率.说明 此题解法较多,用别的方法也不难求得本题的结果,但由上述过程我们看到,仿射变换也为我们提供了一种方便简洁的求解思路.例2 已知椭圆,分别为椭圆左右焦点,过作两条互相平行的弦,分别与椭圆交于四点,若当两条弦垂直于轴时,点所形成的平行四边形面积最大,则椭圆离心率的取值范围为_.分析 利用仿射变换将椭圆变换为圆,此时四点分别变换为四点,由仿射变换时变换前后对应图形的面积比不变这个性质,故将上述题目中的椭圆变换为圆时,四点所形成的平行四边形面积最大值仍在两条弦与轴垂直时取到,故只需研究在圆的一条直径上,取关于圆心对称的两点,当为多少时,能使得过的两条互相平行的弦与此直径垂直时刻,与圆的四个交点所形成的面积最大.解 作仿射变换,令,可得仿射坐标系,在此坐标系中,上述椭圆变换为圆,点坐标分别为,过作两条平行的弦分别与圆交于四点.由平行四边形性质易知,三角形的面积为四点所形成的平行四边形面积的,故只需令三角形面积的最大值在弦与轴垂直时取到即可.由文2中的结论,易得当时,三角形面积的最大值在弦与轴垂直时取到.故此题离心率的取值范围为.说明 此题的一般解法也较多,但按照常规解法则较为繁琐.而上述解法利用仿射变换把椭圆变换为圆后,由于圆中三角形面积的计算较为简便,故使得本题的解答过程大大简化.本题以面积的求解为载体,在此载体下可以有多种变式,笔者给出一种,有兴趣的读者不妨用仿射变换的办法尝试求解.例2变式 已知椭圆,为椭圆内一定点,过点的弦与椭圆交于两点,若使得三角形面积为的弦存在两条,则取值范围为_.例3 (2014年常州期末第18题)在平面直角坐标系中,椭圆的右准线为直线,动直线交椭圆于两点,线段的中点为,射线分别交椭圆及直线于点,如图,当两点分别是椭圆的右顶点及上顶点时,点的纵坐标为(其中为椭圆的离心率),且.(1) 求椭圆的标准方程;(2) 如果是的等比中项,那么是否为常数?若是,求出该常数;若不是,请说明理由. 分析 此题按照常规解法较为繁琐,但利用仿射变换会使得问题的解决变得简单.仿射变换后,点分别变换为点,对应直线的斜率变换为原来的倍,且根据圆的性质,可得,利用此性质可较容易求得与的比值关系.解 作仿射变换,令,可得仿射坐标系,在此坐标系中,上述椭圆变换为圆,点分别变换为点,由为中点,可得.(1) 当两点分别是原坐标系中椭圆的右顶点及上顶点时,经仿射变换得到,此时线段所在直线斜率为,则斜率为,即,,计算易得,即椭圆的标准方程为.(2) 经仿射变换后,是的等比中项所在直线斜率变换为,则根据,可得斜率为,因为,即求得,又因为,则,化简计算易得,即为定值.说明 本题原答案是利用直线与椭圆联立求得点坐标,进而求得直线后,继续令直线与椭圆联立,求得点坐标,再利用三条线段成等比中项求得与的比值,运算量较大.但利用仿射变换的办法,把椭圆仿射变换为圆后,各线段间几何关系明显且使得问题简洁易解,运算量大大简化.
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