2017届山西运城市高三上学期期中数学（理）试题一、选择题1已知集合，则（ ）A B C D【答案】A【解析】试题分析：并集为所有元素的合集，所以.【考点】并集.【易错点晴】集合的三要素是：确定性、互异性和无序性.研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.元素与集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间有包含关系. 在求交集时注意区间端点的取舍. 熟练画数轴来解交集、并集和补集的题目.2已知向量，若，则实数等于（ ）A B C或2 D【答案】C【解析】试题分析：由于两个向量平行，故.【考点】向量运算.3已知，且，则为（ ）A B C D【答案】C【解析】试题分析：，所以在第四象限，.【考点】诱导公式，同角三角函数关系.4若，则一定有（ ）A B C D【答案】B【解析】试题分析：根据，有，由于，两式相乘有，故选B.【考点】不等式的性质.5函数满足的值为（ ）A1 B C或 D1或【答案】D【解析】试题分析：,.【考点】分段函数求值.6把函数的图象上所有点的横坐标都缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把图象向右平移个单位，这是对应于这个图象的解析式为（ ）A B C D【答案】A【解析】试题分析：函数的图象上所有点的横坐标都缩小到原来的一半，纵坐标保持不变得到，再把图象向右平移个单位，得到.【考点】三角函数图像变换.7函数是偶函数，且在内是增函数，则不等式的解集为（ ）A BC D【答案】B【解析】试题分析：函数为偶函数，故为奇函数，在内是增函数，所以时，当时，根据对称性，有当时，当时，.由此可知即为两者异号的解集为.【考点】函数的奇偶性与单调性.8设向量，满足，则（ ）A2 B C4 D【答案】B【解析】试题分析：不妨设，所以，解得，所以.【考点】向量运算.9已知等比数列中，等差数列中，则数列的前9项和为（ ）A9 B27 C54 D72【答案】B【解析】试题分析：根据等比数列的基本性质有，所以，所以.【考点】等差数列与等比数列.10已知函数，是函数的导函数，则的图象大致是（ ）【答案】A【解析】试题分析：，这是一个奇函数，图象关于原点对称，故排除B，D两个选项.令，所以在时切线的斜率小于零，排除C，故选A.【考点】函数导数与图象.11已知函数，设，且的零点均在区间内，其中,，则的最小整数解为（ ）A B C D【答案】D【解析】试题分析：，所以函数在内有零点，且在区间上，函数递增，故只有唯一零点，左移个单位得到，依题意，函数所有零点都在区间上，所以使得的最小整数为.【考点】函数图象平移与零点.【思路点晴】本题主要考查函数图象变换和零点与二分法的知识.由于，所以函数的图像是有函数的图像向左平移个单位所得.由于零点都在某个区间上，所以函数的零点也在某个区间上.利用二分法的知识，计算的值，且函数递增，有唯一零点在区间，左移个单位就是.12已知点在内部一点，且满足，则，的面积之比依次为（ ）A4：2:3 B2:3:4 C4:3:2 D3:4:5【答案】A【解析】试题分析：不妨设三角形为等腰直角三角形，且直角边长为，以为原点建立平面直角坐标系，则，所以，即，解得，所以，所以面积比为.【考点】向量运算.【思路点晴】本题主要考查向量的运算，考查三角形的面积公式，考查化归与转化的数学思想方法，考查几何代数化的方法.由于题目没有限制三角形的形状，所以可以设为特殊三角形，为了方便建立坐标系，取三角形为等腰直角三角形.建立平面直角坐标系后，用坐标表示点，代入题目给定的向量条件，计算出得按的位置，也就是三角形的高，然后利用面积公式求面积.二、填空题13若一个幂函数图象过点，则 【答案】【解析】试题分析：设，.【考点】幂函数.14设数列的前项和为，已知，则的通项公式为 【答案】【解析】试题分析：当时，当时，所以通项公式为.【考点】数列已知求.【思路点晴】已知求是一种非常常见的题型，这些题都是由与前项和的关系来求数列的通项公式，可由数列的通项与前项和的关系是，注意：当时，若适合，则的情况可并入时的通项；当时，若不适合，则用分段函数的形式表示15平面向量，（），且与的夹角等于与的夹角，则 【答案】【解析】试题分析：依题意有，根据夹角公式有，解得.【考点】向量运算.【思路点晴】本题主要考查向量的坐标运算，考查向量的夹角公式，考查方程的思想. 利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决对向量与三角函数的综合问题，可通过向量的数量积运算把向量问题转化为三角问题，从而可利用三角公式求解16如图，在中，为内一点，则 【答案】【解析】试题分析：设，在直角三角形中，在中，由正弦定理得，即，化简得【考点】解三角形.三、解答题17已知函数，（1）求；（2）求函数的最小正周期与单调减区间【答案】（1）；（2），单调减区间为，.【解析】试题分析：（1）利用二倍角公式、降次公式、辅助角公式，化简，所以；（2）由（1）可知最小正周期为.利用求得单调减区间为.试题解析：（1）；（2）的最小正周期为，令，解得，所以函数的单调减区间为，【考点】三角恒等变换，三角函数单调性.18已知各项均为正数的数列，满足，（）（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）由于，所以是等差数列，即，开方得；（2）由于是一个等差数列除以一个等比数列，所以利用错位相减法求得前项和.试题解析：（1）因为，（），所以，因为，所以（）（2）由（1）知，所以，所以，则，得，所以【考点】递推数列求通项，错位相减法.19在中，角，的对边分别为，且（1）求角的值；（2）若，边上中线，求的面积【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）利用正弦定理，化简得，所以；（2）由内角和定理求得，三角形为等腰三角形，由余弦定理，得，解得，面积为.试题解析：（1），由正弦定理，得，又，（2），可知为等腰三角形，在中，由余弦定理，得，即，的面积【考点】解三角形.20已知函数，且（1）求的值；（2）若对于任意，都有，求的最小值【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1），代入，求得；（2）由，化简得，令，利用导数求得的最大值为，所以，故的最小值为.试题解析：（1）对求导，得，所以，解得（2）由，得，因为，所以对于任意，都有设，则，令，解得，当变化时，与的变化情况如下表：1增极大值减所以当时，因为对于任意，都有成立，所以，所以的最小值为【考点】函数导数与不等式.21为了保护环境，发展低碳经济，某单位再国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可近似的表示为：，且每处理一顿二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家每月至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？【答案】（1）；（2）不获利，.【解析】试题分析：（1）由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为：，利用基本不等式，可求得当时平均处理成本最低；（2）先求得获利表达式，因为，所以当时，有最大值，所以至少要补贴.试题解析：（1）由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为：，当且仅当，即时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元（2）设该单位每月获利为，则，因为，所以当时，有最大值故该单位不获利，需要国家每月至少补贴40000元，才能不亏损【考点】应用问题，基本不等式.【方法点晴】本题主要考查实际应用问题，考查利用基本不等式求最值的方法，考查利用二次函数性质求最值的方法.第一问成本的表达式已经给出为，再除以就得到平均成本，观察这个平均成本，发现可以利用基本不等式求最值，基本不等式求最值要注意一正二定三相等.第二问要求补贴的最小值，也即是要求亏损的最大值.先列出获利的表达式，利用配方法求得最值.22已知函数 （1）若曲线过点，求曲线在点处的切线方程；（2）求函数在区间上的最大值；（3）若函数有两个不同的零点，求证： 【答案】（1）；（2）当时，当时，当时，；（3）证明见解析.【解析】试题分析：（1）因为点在曲线上，所以，解得，利用导数求得斜率为，故切线为；（2），将分成四类，讨论函数的单调区间进而求得最大值；（3）不妨设，因为，所以，要证明，即证明，令，即证，令（），利用导数求得的最小值大于零即可.试题解析：（1）因为点在曲线上，所以，解得因为，所以切线的斜率为0，所以切线方程为（2）因为，当时，所以函数在上单调递增，则；当，即时，所以函数在上单调递增，则；当，即时，函数在上单调递增，在上单调递减，则；当，即时，函数在上单调递减，则综上，当时，；当时，；当时，（3）不妨设，因为，所以，可得，要证明，即证明，也就是，因为，所以即证明，即，令，则，于是，令（），则，故函数在上是增函数，所以，即成立，所以原不等式成立【考点】导数与切线、最值.【方法点晴】本题主要考查导数与切线的问题，考查导数与极值、最值的问题，考查构造函数法证明不等式的方法.第一问涉及求函数的参数，只需代入点的坐标解方程即可，涉及切线问题利用导数和斜率的对应关系易得.第二问求函数在某个区间上的最大值，需要对进行分类讨论，分类的依据是导数的零点是否在定义域内.第三问要证明不等式，先将其转化为同一个参数，然后利用导数求其最小值来求.第 1 页 共 13 页