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第36讲空间向量的应用一、考情分析1. 理解直线的方向向量及平面的法向量;2. 能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系;3. 能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理;4. 能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题;5. 能用向量方法解决点到平面、相互平行的平面的距离问题;6. 并能描述解决夹角和距离的程序,体会向量方法在研究几何问题中的作用.二、知识梳理1. 直线的方向向量和平面的法向量(1)直线的方向向量:给定一个定点A和一个向量“,再任给一个实数I,以A为起点作向量AP=ta,则此向量方程叫做直线l的参数方程.向量a称为该直线的方向向量.平面的法向量:直线la,取直线l的方向向量a,则向量a叫做平面a的法向量.2. 空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1, l2的方向向量分别为n1, n2l/l2m1#m2m1=Am2l1l2m11m2=mm2=0直线l的方向向量为m, 平面a的法向量为ml amm=m m=0lXamm=m=Am平面a,月的法向量分别为m, ma gmm=m=Amapmm=m m=03.异面直线所成的角设a, b分别是两异面直线l1,l2的方向向量,则a与b的夹角gl1与l2所成的角0范围(0, n)求法abcos 3=, Hu lallblla blcos 0=lcos gl = lallbl4. 求直线与平面所成的角设直线l的方向向量为。,平面a的法向量为m,直线l与平面a所成的角为仇则sin 0Tcosa,心 I-迪.5. 求二面角的大小如图,AB, CD是二面角a-l-p的两个面内与棱l垂直的直线,则二面角的大小 3= _JAB, CD).如图,叩n2分别是二面角a-l-p的两个半平面a, p的法向量,则二面角的 大小3满足I cos 3l = lcos g n2)I,二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补 角).6. 点到平面的距离用向量方法求点B到平面距离基本思路:确定平面法向量,在平面内取一点A,求向量AB到法向量的投影向量,投影向量的长度即为所要求的距离.如图平面a的法向量为 lAB-nln,点B到平面a的距离d=F .微点提醒1. 平面的法向量是非零向量且不唯一.2. 建立空间直角坐标系要建立右手直角坐标系.3. 线面角3的正弦值等于直线的方向向量a与平面的法向量n所成角的余弦值的绝对值,即 sin 3=lcosa,n) I,不要误记为 cos 3=lcosa,n) I.4. 二面角与法向量的夹角:利用平面的法向量求二面角的大小时,当求出两半平面a,p 的法向量n1,n2时,要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向,来确定二面角与向量 n1,n2的夹角是相等,还是互补.三、经典例题考点一 利用空间向量证明平行问题【例1】如图,在四面体ABCD中,人2上平面BCD,BCLCD,AD = 2,BD = 22, M 是AD的中点,P是BM的中点,点Q在线段AC上,且AQ = 3QC.证明:尸己平面BCD.【解析】证明法一如图,取BD的中点。,以O为原点,OD,OP所在射线分别为 y,z轴的正半轴,建立空间直角坐标系O-xyz.由题意知,A(0,寸2 2),B(0,-2,0),D(0,.2,0).设点C的坐标为30, y0,0).因 %AQ = 3QC,所以 Q4xo,半+%,1/因为M为AD的中点,故M(0,顼2, 1).又P为BM的中点,故P0, 0, 2)所以死=邕,乎+京。/ 又平面BCD的一个法向量为&=(0, 0, 1),故PQa=0.又PQG平面BCD,所以尸平面BCD.法二 在线段CD上取点尸,使得DF=3FC,连接OF,同法一建立空间直角坐标系, 写出点A, B, C的坐标,设点C坐标为(x0, y0, 0).CF=1CD,设点F坐标为(x, y, 0),贝Q3x0,yy0,0)=1(-x0,V2-y0,0),3x=4x0,吏/ 顷一4 +4y0,.H3孩工3OF=4x0,4 +4y。, 又由法一知PQ = GX0,+4y0,Of=Pq,pqof.又PQa平面BCD, OF平面BCD, :PQ平面BCD.规律方法(1)恰当建立坐标系,准确表示各点与相关向量的坐标,是运用向量法证明平 行和垂直的关键.(2)证明直线与平面平行,只须证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零,或证 直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面,或证直线的方向向量与平面内某直 线的方向向量平行,然后说明直线在平面外即可.这样就把几何的证明问题转化为向量 运算.考点二 利用空间向量证明垂直问题【例2】如图所示,已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形,/ABC=/BCD = 90AB=BC=PB=PC=2CD,侧面 PBC 底面 ABCD.证明:(1)P4BD;(2)平面PAD平面PAB.【解析】证明(1)取BC的中点0,连接PO,.平面PBC底面ABCD,APBC为等边三角形,?.P0 底面 ABCD.以BC的中点0为坐标原点,以BC所在直线为x轴,过点0与AB平行的直线为y 轴,0P所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,如图所示.不妨设 CD=1,则 AB=BC=2,P0=弟.A(1,2,0),B(1,0,0),D(-1,-1,0),P(0,0,胰).*.BD = ( 2,1, 0), PA = (1,2,*3).VBD-PA = ( 2)X 1 + (1)X(2) + 0X ( 、.,:3) = 0,AP4BD,AP4BD.取PA的中点M,连接DM,则Mg,1,乎.DM=|,0,普 pB=(1,0,-3), 33:.DM- 98=2X1 + 0X0+5 X(.3) = 0,A.IjMLpB,艮fl DMPB.33:DM P4=2X1+0X( 2) +亍 X(3) = 0,:.l5MPA,艮fl DMP4.又 VP4nPB=P,ADM平面 PAB.;DM 平面PAD,.平面PADL平面PAB.规律方法(1)利用已知的线面垂直关系构建空间直角坐标系,准确写出相关点的坐标, 从而将几何证明转化为向量运算.其中灵活建系是解题的关键.(2)用向量证明垂直的方法 线线垂直:证明两直线所在的方向向量互相垂直,即证它们的数量积为零. 线面垂直:证明直线的方向向量与平面的法向量共线,或将线面垂直的判定定理用向 量表示. 面面垂直:证明两个平面的法向量垂直,或将面面垂直的判定定理用向量表示.考点三 用空间向量解决有关位置关系的探索性问题角度1与平行有关的探索性问题【例3T】如图,棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都等于2,ZABC和ZA1AC均为 60,平面AA1C1C平面ABCD.(1)求证:BDAA1;(2)在直线CC1上是否存在点尸,使B尸平面DA1C1,若存在,求出点P的位置,若不 存在,请说明理由.【解析】(1)证明 设BD与AC交于点。,则BDLAC,连接A1,在AA?中,AA1=2, AO=1,/AAO = 60,A1O2=AA1+AO2 2AAAOcos 60 = 3,?.A2+A1O2=AA2,:,A1OAO.由于平面AA1C1C平面人8。,且平面AA1C1CA平面ABCD=AC,A1O 平面 AA1C1C,AA1O 平面 ABCD.以OB,OC,OA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系, 则 A(0,1,0),B点,0,0),C(0,1,0),D(,3,0,0),A1(0,0,顼2),C1(0, 2,展).由于BD = ( 2淤,0,0),AA1 = (0,1,鹏),Al1-BD = 0X( 2 鹏)+1X0+瞻 X0 = 0,?.BDA11,艮口 BDAA1.解 假设在直线CC1上存在点P,使8尸平面DA1C1,设Cp=ACC1,P(x,y,z),则(x,y1,z)=A(0,1,3).从而有 P(0,1+A,.3A),BP=(指,1+A,3A).设n3平面DA1C1,n3 AZ, n3上瓦1,又A1C1 = (0, 2, 0), DA1 = 3, 0,拓),、2y3 = 0,设yg,为,W ,则回*修=0,取 n3 = (1, 0,-1),因为 8尸平面 DA1C1,则 n3BP,即 n3BP =J3 3A=0, 得 A= 1,即点P在C1C的延长线上,且C1C=CP.角度2与垂直有关的探索性问题【例3 2】如图,正方形ADEF所在平面和等腰梯形ABCD所在的平面互相垂直,已 知 BC=4, AB=AD = 2.(1) 求证:AC1BF;(2) 在线段BE上是否存在一点P,使得平面PAC平面BCEF?若存在,求出器的值; 若不存在,请说明理由.【解析】证明,平面ADEFL平面ABCD,平面ADEFQ平面ABCD=AD,AFLAD, AFu平面 ADEF,AAF 平面 ABCD.VACu 平面 ABCD,. AFLAC.过 A 作 AHLBC于 H,则 BH=1, AH=g, CH=3,AC=23.AB2+AC2=BC2,.ACLAB,.ABEAF=A,.ACL平面FAB,VBFu平面 FAB,ACLBF.(2)解存在.由(1)知,AF, AB, AC两两垂直.以A为坐标原点,疝,AC, AF的方向分别为x轴,y轴,z轴正方向,建立如图所示的 空间直角坐标系Axyz,则 A(0, 0, 0), B(2, 0, 0), C(0, 2捐,0), E(1, g, 2).假设在线段BE上存在一点P满足题意,则易知点P不与点B, E重合,设器=久,则久0, P气一X 四 24、 1+丁 1+X 1+力.设平面PAC的法向量为m = (x, y, z).土_ (2X 小X 2X、由 ap=F 1+X,1+J,AC=(0, 2挡,0),得M 2X | 3X , AP=+x+y+2X _八 1+z=0,m AC=2;3y=0,y=X2即L=u,令x=1,则z=亏,z= 2X x,一一.(X2A,.* 、” , 一所以m=1, 0, 可 为平面PAC的一个法向量.同理,可求得n = 1, g3, 1为平面BCEF的一个法向量.I 3 J2当m n=0,即X=3时,平面PAC平面BCEF,BP 2故存在满足题意的点P,此时宜=PE 3规律方法 解决立体几何中探索性问题的基本方法(1)通常假设题中的数学对象存在(或结论成立),然后在这个前提下进行逻辑推理.探索性问题的关键是设点:空间中的点可设为(x,y,z);坐标平面内的点其中一 个坐标为0,如xOy面上的点为(x,y, 0);坐标轴上的点
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