第三节平行关系考纲传真(教师用书独具)1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题(对应学生用书第111页)基础知识填充1直线与平面平行(1)直线与平面平行的定义直线l与平面没有公共点，则称直线l与平面平行(2)判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线平行于此平面l平面，bl，lbl性质定理一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行l，l平面，blb2.平面与平面平行(1)平面与平面平行的定义没有公共点的两个平面叫作平行平面(2)判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行a，b，abP，a，b性质定理两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面，aa如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行，a，bal3.与垂直相关的平行的判定(1)a，bab.(2)a，a.基本能力自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)若一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行()(2)若直线a平面，P，则过点P且平行于直线a的直线有无数条()(3)若一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行()(4)若两个平面平行，则一个平面内的直线与另一个平面平行()(5)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面()答案(1)(2)(3)(4)(5)2下列命题中，正确的是()A若ab，b，则aB若a，b，则abC若a，b，则abD若ab，b，a，则aDA中还有可能a，B中还有可能a与b异面，C中还有可能a与b相交或异面，只有选项D正确3设，是两个不同的平面，m是直线且m，“m ”是“ ”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件B当m时，过m的平面与可能平行也可能相交，因而m/；当时，内任一直线与平行，因为m，所以m.综上知，“m ”是“ ”的必要而不充分条件4三棱柱ABCA1B1C1中，过棱A1C1，B1C1，BC，AC的中点E，F，G，H的平面与平面_平行A1B1BA如图所示，连接各中点后，易知平面EFGH与平面A1B1BA平行5(教材改编)在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是DD1的中点，则BD1与平面ACE的位置关系是_平行如图所示，连接BD交AC于F，连接EF，则EF是BDD1的中位线，EFBD1，又EF平面ACE，BD1平面ACE，BD1平面ACE.(对应学生用书第112页)与线面平行相关命题的真假判断(1)已知m，n是两条不同直线，是两个不同平面，则下列命题正确的是()A若，垂直于同一平面，则与平行B若m，n平行于同一平面，则m与n平行C若，不平行，则在内不存在与平行的直线D若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面(2)(2017全国卷)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是()(1)D(2)A(1)A项，可能相交，故错误；B项，直线m，n的位置关系不确定，可能相交、平行或异面，故错误；C项，若m，n，mn，则m，故错误；D项，假设m，n垂直于同一平面，则必有mn，原命题正确，故D项正确(2)A项，作如图(1)所示的辅助线，其中D为BC的中点，则QDAB.QD平面MNQQ，QD与平面MNQ相交，直线AB与平面MNQ相交B项，作如图(2)所示的辅助线，则ABCD，CDMQ，ABMQ.又AB平面MNQ，MQ平面MNQ，AB平面MNQ.C项，作如图(3)所示的辅助线，则ABCD，CDMQ，ABMQ.又AB平面MNQ，MQ平面MNQ，AB平面MNQ.D项，作如图(4)所示的辅助线，则ABCD，CDNQ，ABNQ.又AB平面MNQ，NQ平面MNQ，AB平面MNQ.故选A规律方法1.判断与平行关系相关命题的真假，必须熟悉线、面平行关系的各个定义、定理，无论是单项选择还是含选择项的填空题，都可以从中先选出最熟悉最容易判断的选项先确定或排除，再逐步判断其余选项.2.(1)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断.(2)特别注意定理所要求的条件是否完备，图形是否有特殊情形，通过举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确.跟踪训练(2017唐山模拟)若m，n表示不同的直线，表示不同的平面，则下列结论中正确的是()【导学号：79140229】A若m，mn，则nB若m，n，m，n，则C若，m，n，则mnD若，m，nm，n，则nD在A中，若m，mn，则n或n，故A错误在B中，若m，n，m，n，则与相交或平行，故B错误在C中，若，m，n，则m与n相交、平行或异面，故C错误在D中，若，m，nm，n，则由线面平行的判定定理得n，故D正确直线与平面平行的判定与性质角度1直线与平面平行的判定(2016全国卷)如图731，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ADBC，ABADAC3，PABC4，M为线段AD上一点，AM2MD，N为PC的中点图731(1)证明：MN平面PAB；(2)求四面体NBCM的体积解(1)证明：由已知得AMAD2.如图，取BP的中点T，连接AT，TN，由N为PC中点知TNBC，TNBC2.又ADBC，故TNAM，所以四边形AMNT为平行四边形，于是MNAT.因为AT平面PAB，MN平面PAB，所以MN平面PAB.(2)因为PA平面ABCD，N为PC的中点，所以N到平面ABCD的距离为PA如图，取BC的中点E，连接AE.由ABAC3得AEBC，AE.由AMBC得M到BC的距离为，故SBCM42.所以四面体NBCM的体积VNBCMSBCM.角度2线面平行性质定理的应用如图732所示，CD，AB均与平面EFGH平行，E，F，G，H分别在BD，BC，AC，AD上，且CDAB.求证：四边形EFGH是矩形图732证明CD平面EFGH，而平面EFGH平面BCDEF，CDEF.同理HGCD，EFHG.同理HEGF，四边形EFGH为平行四边形，CDEF，HEAB，HEF为异面直线CD和AB所成的角又CDAB，HEEF.平行四边形EFGH为矩形规律方法1.证明线面平行的常用方法(1)利用线面平行的定义(无公共点).(2)利用线面平行的判定定理(a，b，aba).(3)利用面面平行的性质定理(，aa).(4)利用面面平行的性质(，a，aa).2.利用判定定理判定线面平行，注意三条件缺一不可，关键是找平面内与已知直线平行的直线.常利用三角形的中位线、平行四边形的对边平行或过已知直线作一平面找其交线.跟踪训练如图733所示，斜三棱柱ABCA1B1C1中，点D，D1分别为AC，A1C1的中点图733(1)证明：AD1平面BDC1；(2)证明：BD平面AB1D1.证明(1)D1，D分别为A1C1，AC的中点，四边形ACC1A1为平行四边形，C1D1DA，四边形ADC1D1为平行四边形，AD1C1D，又AD1平面BDC1，C1D平面BDC1，AD1平面BDC1. (2)连接D1D，BB1平面ACC1A1，BB1平面BB1D1D，平面ACC1A1平面BB1D1DD1D，BB1D1D，又D1，D分别为A1C1，AC的中点，BB1DD1，故四边形BDD1B1为平行四边形，BDB1D1，又BD平面AB1D1，B1D1平面AB1D1，BD平面AB1D1.平面与平面平行的判定与性质如图734所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：图734(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1平面BCHG.证明(1)G，H分别是A1B1，A1C1的中点，GH是A1B1C1的中位线，GHB1C1.又B1C1BC，GHBC，B，C，H，G四点共面(2)在ABC中，E，F分别为AB，AC的中点，EFBCEF平面BCHG，BC平面BCHG，EF平面BCHG.A1GEB，四边形A1EBG是平行四边形，则A1EGB.A1E平面BCHG，GB平面BCHG，A1E平面BCHG.A1EEFE，平面EFA1平面BCHG.在本例条件下，若点D为BC1的中点，求证：HD平面A1B1BA证明如图所示，连接HD，A1B，D为BC1的中点，H为A1C1的中点，HDA1B.又HD平面A1B1BA，A1B平面A1B1BA，HD平面A1B1BA规律方法证明面面平行的常用方法(1)利用面面平行的定义.(2)利用面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.(3)利用“垂直于同一条直线的两个平面平行”.(4)利用“如果两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行”.(5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化.跟踪训练在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N、P分别是C1C、B1C1、C1D1的中点求证：平面MNP平面A1BD. 【导学号：79140230】证明如图，连接B1D1、B1CP、N分别是D1C1、B1C1的中点，PNB1D1.又B1D1BD，PNBD.又PN平面A1BD，PN平面A1BD.同理，MN平面A1BD，又PNMNN，平面PMN平面A1BD.