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勾股定理综合提高【知识梳理】1、勾股定理:直角三角形两直角边的 等于 .【性质定理】2、勾股逆定理:如果直角三角形三边长a、b、c满足 ,那么这个三角形是 _三角形.(且 =90)【判定定理】当三角形三边为a、b、c,且c为最大边时,若a2+b2=c2,则C为_;若c2a2+b2,则C为_; 若c2a2+b2,则C为_.3、勾股数:满足条件a2+b2=c2的三个正整数称为勾股数.常见的勾股数组有: 3、4、5(连续整数); 5、12、13; 6、8、10(连续偶数);7、24、25; 8、15、17; 9、12、15; 9、40、41;10、24、26; 11、60、61; 15、20、25这些勾股数组的整数倍仍然是勾股数组. 勾股数通式巧总结:通式一:(3,4,5),(6,8,10)、(是正整数)通式二:(5,12,13),(7,24,25),(9,40,41) 、(是正整数)通式三:(8,15,17),(12,35,37) 、(是正整数)4、勾股定理的证明:5、直角三角形中的几个性质说明:(1)直角三角形斜边上的中线等于_. (2) Rt中30角所对的边等于_.三边比为_. (3) 45的等腰直角三角形三边比为_.6、勾股树:(1)以直角三角形的三边为边向外作等边三角形(如图),探究S1S2与S3的关系; 等边三角形边长为,则高=_,面积=_.(2)以直角三角形的三边为斜边向形外作等腰直角三角形(如图),探究S1S2与S3的关系;(3)以直角三角形的三边为直径向形外作半圆(如图),探究S1S2与S3的关系7、最短距离问题:将立体图形展开,利用直角三角形的勾股定理求出最短距离(斜边长).8、非负性:绝对值 平方项(或偶次方项) 二次根式9、数轴表示数:如在数轴上作出表示 、 、1-与 +1的点10、方法:见比设参【经典易错例题透析】类型一:勾股定理及其逆定理的应用1RtABC中,斜边BC2,则AB2AC2BC2的值为( )(A)8 (B)4(C)6(D)无法计算2.(易错题)下列几组数据:0.6, 0.8, 1 12,13,5; 7,8,15 40,41,9.其中是勾股数的有( )(A)4组 (B)3组(C)2组(D)1组3.已知直角三角形两直角边分别为5,12,则三边上的高的与为_.4. 已知与互为相反数,则以为三边的三角形是 三角形.5.已知a,b,c是ABC的三边长,且满足关系式,则ABC的形状为_.6. 如图,在RtABC中,C=90,AC=3.将其绕B点顺时针旋转一周,则分别以BA,BC为半径的圆形成一圆环,则该圆环的面积为() A. B. C. D.7. 图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图,它是由四个全等的直角三角形围成的在RtABC中,若直角边AC=6,BC=5,将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍,得到图乙所示的“数学风车”,则这个风车的外围周长(图乙中的实线)是_类型二:利用勾股定理证明、计算1如图,直线l经过正方形ABCD的顶点B,点A、C到直线l的距离分别是1、2,则正方形的边长是_2在直线上依次摆着7个正方形(如图),已知倾斜放置的3个正方形的面积分别为1,2,3,水平放置的4个正方形的面积是S1,S2,S3,S4,则S1S2S3S4_3.如图,已知ABC中,ABC90,ABBC,三角形的顶点在相互平行的三条直线l1,l2,l3上,且l1,l2之间的距离为2,l2,l3之间的距离为3,求AC的长是多少?4.在ABC中,C=90,点M是BC的中点,MDAB于点D,求证:AD=AC+BD类型三:关于勾股定理的实际应用 1.如图,圆柱形容器中,高为8cm,底面周长为12cm,在容器内壁离容器底部2cm的点B处有一蚊子,此时一只壁虎正好在容器外壁,离容器上沿2cm与蚊子相对的点A处,则壁虎捕捉蚊子的最短距离为_cm (容器厚度忽略不计).类型四:勾股定理与乘法公式变形综合应用1.(巧思妙解题)在RtABC中,C=,AC+BC=15,AB=11,则RtABC的面积为_.2如图,RtABC中,C=90,CDAB于点D,AB=13,CD=6,则AC+BC等于_.3.如右上图中大、小正方形的面积分别为65与9,那么一个直角三角形的两直角边的与等于_.类型五:勾股定理与等腰直角三角形综合应用 1.如图,在中,AC=BC,D、E是边AB上的两点,AD=3,BE=4,求的面积ABEDC2. 如图,在ABC中,ACB=90,AC=BC,P是ABC内的一点,且PB=1,PC=2,PA=3,求BPC的度数.3如图,在四边形ABCD中,AB=BC,ABC=CDA=90,BEAD于点E,且四边形ABCD面积为8,则BE的长为_4如图,P是正ABC内的一点,且PA=6,PB=8,PC=10,若将PAC绕点A旋转后,得到,则点P与点之间的距离为_,APB=_
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