第4章 不定积分内容概要名称主要内容不疋积分不 疋 积 分 的 概 念设f(x) , x 1 ,若存在函数F(x),使得对任意x I均有F(x) f(x)或dF (x) f (x)dx，则称F(x)为f (x)的一个原函数。f (x)的全部原函数称为f (x)在区间1上的不定积分，记为注：(1)若f (x)连续，则必可积；(2)若F(x),G(x)均为f (x)的原函数，则F(x) G(x) C。故不定积分的表达式不唯一。性质性质 1： f (x)dxf (x)或 d f (x)dxf (x)dx ；dx性质 2：F (x)dx F(x) C 或 dF(x) F(x) C ；性质 3： f (x)g(x)dxf (x)dxg(x)dx，,为非零常数。计算方第一换元积分法(凑微分法)设f (u)的 原函数为F(u)，u(x)可导，则有换兀公式：法第二类换元积分法设x (t)单调、可导且导数不为零，f (t) (t)有原函数F(t)，则f(x)dx f( (t) (t)dt F(t) C F( 1(x) C分部积分法有理函数积分若有理函数为假分式，则先将其变为多项式和真分式的 和；对真分式的处理按情况确定。本早的地位与作用在下一章定积分中由微积分基本公式可知 -求定积分的问题，实质上是 求被积函数的原函数问题；后继课程无论是二重积分、三重积分、曲线积 分还是曲面积分，取终的解决都归结为对疋积分的求解；而求解微分方程 更是直接归结为求不定积分。从这种意义上讲，不定积分在整个积分学理 论中起到了根基的作用，积分的问题会不会求解及求解的快慢程度，几乎 完全取决于对这一章掌握的好坏。这一点随着学习的深入，同学们会慢慢 体会到！课后习题全解习题4-11.求下列不定积分:知识点：直接积分法的练习一一求不定积分的基本方法。思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分!dxx2 . x思路：被积函数1x2 , x5x2，由积分表中的公式(2)可解解：dx5x 2dx2 3xCx2 x3(3二)dx思路：根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分111141解：(VX -)dx(x3 x2)dxx3dxx 2dx -x3 2x2 CVx4 (3)(2x x2)dx思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分x解：(2x x2)dx2xdxx2dx x- CIn 23 (4) x(x 3)dx思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分解： .x(x 3)dx3x1 2 *dx1x2dx52 2x2532x c3x4 3x22x1dx1思路：观察到3x43x21x213x2根据不定积分的线性性质，将被积函数分项,分别积分。dx3x2dxdx x3x arcta n x C2 hdx思路：注意到12x2x别积分。2解:x 2dx1 xdx12dx1 xarcta n x C.注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分 式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。(x-+ 3-4)xx x x思路:分项积分。x 1341解：(沐w)dx 1 xdx3 ,4 ,dx 3 x dx 4 x dxx思路：分项积分 (9)W)dx+dx 2/ 1 dx 3arcta n x1 x22 arcs in x C.dx1x2，直接积分。dx7x8dx15C. (10)22 dxx (1 x )思路:裂项分项积分。-dx x2)1rv)dx2dxxarcta nx C.xe (11)匚e解：”)dx(ex 1)dxx C. (12)3xexdx思路:初中数学中有同底数幕的乘法:指数不变,底数相乘。显犷然 3xex (3e)x (13) cot2 xdx思路：应用三角恒等式“ cot2xCSC2 x 1 ”。解：cot2 xdx(csc2 x 1)dxcotx x C2 3x 5 2x(14)-dx思路:被积函数2 3x 5 2x22）x积分没困难解：2 3x 5 2x3xdx2（|）x（2（3）x）dx 2x 5击 C. (16)cos2xdx (15) cos2 x dx2思路:若被积函数为弦函数的偶次方时，一般地先降幕，再积分sin x C.2解:cos2 xd2思路:应用弦函数的升降幕公式，先升幕再积分解：dx1 cos2x12cos2-dxx一 sec xdx2tanx C.cos2xdxcosx sin x解： cos2x dx cosx sin x(cosx sin x)dxsin x cosx C. (18)cos2x2 dxcos x sin x思路：同上题方法，应用“ cos2xcos2 x sin2x ”，分项积分。解：cos2x22dxcos x sin x2 2cos x sin x -2xcos x sin x1 1dxxsin xcos x(19) V x 1 x)dx思路:注意到被积函数12x2，应用公式即可。解：2=dx.1x22arcs inxC.思路:注意到被积函数2cos x1 cos2x2xc22cos x1 cos1sec2，则积分易得。解: 1d 21 cos x , dx cos2xsec xdx, tan x dx C. 2、设xf (x)dxarccosx C ，求 f(x)。知识点：考查不定积分（原函数）与被积函数的关系思路分析：直接利用不定积分的性质1: f(x)dx f(x)即可。dx解：等式两边对x求导数得： 3、设f (x)的导函数为sinx ,求f (x)的原函数全体。知识点：仍为考查不定积分(原函数)与被积函数的关系。思路分析：连续两次求不定积分即可。解：由题意可知，f (x)sinxdxcosx G所以f (x)的原函数全体为：(cosx Cjdxsinx Gx C2。1 ex 4、证明函数-e2x,exshx和exchx都是一的原函数2chx-shx知识点：考查原函数(不定积分)与被积函数的关系。思路分析：只需验证即可。解：Qe e2x，而(-e2x) exshx exchx e2x chx shxdx 2dxdx 5、一曲线通过点(e2,3)，且在任意点处的切线的斜率都等于该点的横坐标的倒数，求此曲线的方程。知识点：属于第12章最简单的一阶线性微分方程的初值问题，实质仍为考查原函数(不定积分)与被积函数的关系。思路分析：求得曲线方程的一般式，然后将点的坐标带入方程确定具体的方程即可。 解：设曲线方程为y f(x)，由题意可知：f (x) - , f(x) In |x| C ;dxx又点(e2,3)在曲线上，适合方程，有3 In(e2) C, C 1,所以曲线的方程为f(x) In | x| 1. 6 物体由静止开始运动，经t秒后的速度是3t2(m/s)，问：(1) 在3秒后物体离开出发点的距离是多少？(2) 物体走完360米需要多少时间？知识点：属于最简单的一阶线性微分方程的初值问题，实质仍为考查原函数(不定积分)与被积函数的关系。思路分析：求得物体的位移方程的一般式，然后将条件带入方程即可。解：设物体的位移方程为：y f (t)，则由速度和位移的关系可得：f (t) 3t2f (t) t3 C，dt又因为物体是由静止开始运动的，f (0) 0, C 0, f (t) t3。(1)3秒后物体离开出发点的距离为：f(3)3327米；令 t3360 t 3 360 秒。习题4-2 1、填空是下列等式成立。知识点：练习简单的凑微分思路分析：根据微分运算凑齐系数即可。111解：(1)dx d(7x 3);(2)xdxd(1 x2);(3) x3dxd(3x4 2);72122、求下列不定积分。知识点：(凑微分)第一换元积分法的练习。思路分析：审题看看是否需要凑微分。直白的讲，凑微分其实就是看看积分表达式中，有 没有成块的形式作为一个整体变量，这种能够马上观察出来的功夫来自对微积分基本公式 的熟练掌握。此外第二类换元法中的倒代换法对特定的题目也非常有效，这在课外例题中 专门介绍！ ( 1) e3tdt思路：凑微分。解：e3tdt1 e3td(3t)1e3tC333(35x) dx思路:凑微分。解：3(3 5x) dx15 (33145x) d(3 5x)(3 5x) C201 dx3 2x思路:凑微分9 x (xueOpxQuei xpxoasxuei :搦。岳劉事：刼苗xpx 08SX 0 uel (z)9 护 ws乙(j)pysoo 乙:。搦曾（少）P用事（扩）P底皇第呵畜血：刼苗（9）0eqqg xe soo -(-)pqQXXeq (xe) pxe uis 一 xp( ns xe uis):刼苗xp(fXxe uis)g),、乙zgA gx浊0(X 9)-1 (x g)Pe (x g)-(X G P