宁 德 师 范 学 院毕 业 论 文 (设 计)专业 数学教育 指导教师 学生 学号 题 目 浅谈导数在中学数学中的应用 2012年5月27日浅谈导数在中学数学中的应用沈茗（宁德师范学院 数学系 09级数学教育（2）班 福建宁德 352100）摘 要：主要对导数在中学数学中几方面的应用进行初步的归纳与总结.介绍导数在解决函数、几何、证明恒等式和不等式等方面的应用.关键词：导数 不等式 极值 函数导数的引出和定义对函数影响颇为甚大，它是函数知识的继续与延伸，是解决数学问题的重要工具，是中学与大学数学知识的重要衔接.有利于学生更好地理解函数的性质，有利于学生更好地掌握函数思想，有利于学生弄清曲线的切线问题，有利于学生学好其他学科，有利于发展学生的思维能力.新课程增加了导数的内容，随着课改的不断深入，导数知识考查的要求逐渐加强，而且导数已经由前几年只是在解决问题中的辅助地位上升为分析和解决问题时的不可缺少的工具.函数是贯穿着高中数学课程中的主线之一，函数问题涉及高中数学较多的知识点和数学思想方法.导数的引入突破了中学数学思想上的约束，拓宽、优化和丰富了许多数学问题的解决的思路、方法和技巧.近年好多省的高考题中都出现以函数为载体，通过研究其图像性质，来考查学生的创新能力和探究能力的试题.许多人认为,大学里学习的数学分析对今后我们的从教没有任何帮助,但错了，事实上数学分析中的观点思想不但可以加深对中学数学课本中概念的理解和问题的深入研究,也可以提高教师自身的教学水平.在微积分这一章中,可以透彻地学习导数的由来、概念、几何意义.导数在中学数学里内容虽然不多,但应用广泛.本人在此对导数在中学中的应用作个初步探究.有关导数在中学中的应用主要有：研究函数的单调性，求函数的极值和最值，利用导数解决实际某些实际问题，求函数的切线，利用函数的单调性证明不等式.1 导数在函数方面的应用1.1 求函数单调性函数的单调性是函数最基本的性质之一，是研究函数中需要掌握的最基本的知识.一般可用定义来判断，但在函数表达式比较复杂的情况下判断正负是比较困难的.函数的单调性与函数的导数密切相关，运用导数知识来讨论函数单调性时，结合导数的几何意义，只需求出，再考虑的正负即可.此方法比用定义判断的方法来得简单快捷而且适用面广.例1 已知函数恰有三个单调区间，试确定实数的取值范围，并求出这三个单调区间.分析 这是利用函数在某个区间内，函数的导数,则函数单调递增；函数在某个区间内，函数的导数，则函数单调递减.解 该函数的定义域是R对该函数求导得令当时，方程无解，此时恒成立，所以为增函数，与已知有三个单调区间矛盾.当时，由，得.则函数有三个单调区间：，当时，此时单调递增；当时，此时单调递减.综上，当时，函数有三个单调区间：和为单调递减区间，为单调递增区间.1.2 求函数的极值和最值在高中数学中求函数的极值和最值问题是一个重点，也是一个难点.我们学习过很多的方法来求解但一涉及到了比较复杂的函数方程我们就求起来比较困难了.但是若用导数解决这类问题使解题，过程变得简化多了，思路也清晰，学生易掌握.例2 已知函数的极值，并在区间内讨论其最大值、最小值.分析 对于求较为复杂的函数的最值，可先求函数的导数从中求出驻点，通过比较驻点与端点的函数值的大小从而求出最值.解法一 对该函数求导得令求得驻点，得下表0-0+0-0+08单调递减极小值为-1单调递增极小值为0单调递减极小值为-1单调递增8表1由表1知函数的极小值为，极大值比较端点函数值与极值的大小，得函数在区间内，分析 对于求较为复杂的函数的最值，可通过求函数的一阶导数得出驻点，再通过求驻点的二阶导的函数值的正负得出最值.解法二 对函数求导得， 令求得驻点，在处取得极大值，在处取得极小值 在区间，函数在区间内，1.3 对数列求和 数列也是高中数学中的重要部分之一.数列求和是中学阶段数列部分的一个重要内容，也有不少的初等方法可以解决它.事实上若将数列看作是自变量为正整数的特殊的函数，就可以导出数列与函数之间的关系，然后再运用导数就可以解决数列求和的有关问题.例3 求和： 分析 通过观察，利用=令求和即可. 解 因为= 令得, 所以=2 导数在证明恒等式与不等式方面的应用纵观这几年的高考，凡涉及到不等式证明的问题，其综合性强、思维量大，因此历来是高考的难点.利用导数证明不等式，就是利用不等式与函数之间的联系，即利用导数可以判断函数的单调性和最值，直接或间接等价变形后，结合不等式的结构特征，构建辅助函数并确定所构建的辅助函数的单调性或最值，就不难解决不同点的函数值的大小的比较问题，所以可以利用导数去解决某些不等式的证明问题.关于不等式的证明过去曾用初等方法解决过，但是有些不等式的证明很难用初等方法解答，而用导数的方法证明却很简单.例4 求证，.分析 要证明一个一元函数式恒于一个常数，只要证明该函数的导数恒等于零，再取某些特殊点代入函数式等于要证明的某一常数就可以了.解 设，因为在内可导，所以所以在内是常数函数.当时，当时，当时，所以等式，恒成立.例5 当时，证明不等式成立.分析 要证明一个一元函数组成的不等式，一般可以移项使右端为零，将移项后的左式设为函数，再利用导数判断函数的单调性，从而解决不等式的证明问题.解 设，则当时，因此在内为增函数，于是当时，又因为所以即所以当时，不等式恒成立.3 导数在几何方面的应用3.1 求一般曲线的切线方程 要求曲线的切线方程就离不开求切线的斜率，在中学教材中已经学过了求斜率的方法，但那方法比较繁琐，若我们利用函数的导数的几何意义就可以对函数直接求导就可得斜率，这方法来的简洁方便. 例6 求曲线在点处的切线方程.分析 点在曲线上，此类题型为点在曲线上求切线方程，可直接求经过该点的斜率，再用点斜式求出切线方程.解 对曲线求导得，则则过点的切线的斜率为所以根据点斜式可得，曲线在点处的切线方程为，即例7 求抛物线过点的切线方程.分析 点不在抛物线上，此类题型为点不在曲线上求切线方程，应先设出切点坐标，表示出切线方程，把已知点代入方程，求出切点坐标后，再用点斜式求斜率求切线方程. 解 不难发现点不在抛物线上，设此切线过抛物线上的点.对抛物线求导得，则则过点的切线的斜率为根据点斜式得，过点的切线方程为又切线过点，所以，即解得或，切点为或所以所求的切线的方程为或3.2 求函数的图象在解答某些函数问题时我们经常借助画出函数的图形来解答这样会使整个解题过程变得更为简便，在中学数学教材中介绍的描点法作函数图象，不过它有缺陷：带有一定的盲目性、点取得不够多也许就会得到一个错误的图像等，而且这方法一般只适用于简单的函数，对于比较复杂的函数用描点法就很难作出，而运用导数作出的函数图像，就能克服描点法作图的缺点，可有效地对函数的增减性、极值点、凹凸性等重要性态和关键点作出准确的判断.用导数的知识来作函数图象就变得简单多了.例8 画出函数的图像分析 对于求较为复杂函数的图像，可以在函数的定义域的范围内，利用导数的知识画出函数图像. 解 函数的定义域是，令=0解得或令解得将函数的单调区间、极值点、凸性区间及拐点得下表x23+0-0+-0+凹极大值 3凸拐点 1凹极小值 -1凹表2无渐近线作图 4 导数在解决实际问题方面的应用生活中经常遇到求用料最省、利润最大、效率最高等问题，这些问题即为最优化问题.解决这类问题的方法也是五花八门的如：判别式方法、平均不等式法、线性规划方法、差分方法以及用二次函数的性质等等.学习的最终目的，是要求学生具有运用导数知识解决实际问题的意识、思想方法以及能力.不少最优化问题，可以化为求函数的最值的问题.用导数的知识成为解决这类问题的最有效工具使这类问题的解决显得非常方便.例9 在边长为30cm的正方形铁片的四个角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子.当箱底的边长为多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？分析 根据题意找出各个变量之间的关系根据，列出函数关系式，利用函数求最值.解法一 设箱底的边长为,则箱高所以箱子的容积，令解得（舍去）或所以当时，单调递增；当时，单调递减.因此，答：当边长时，箱子的容积最大，最大容积是2000.解法二 设箱高为，则箱底的长为箱子的容积为=， 令解得或（舍去）所以当时，单调递增；当时，单调递减.因此，答：当底边长为20时，箱子的容积最大，最大容积是2000.图2例10 小明和小东两个村子在一条河的同侧，小明村位于河岸的岸边处，小东村位于离河岸的处，小东村到河岸的垂足与相距.两村要在岸边合建一个供水站，从供水站到小明村、小东村的水管费用分别为、，问供水站建在何处才能使水管费用最省？(图2) 分析 根据题中的已知条件可以画出草图，分析各已知条件之间的关系并借助图形的特征，合理选择这些条件间的联系方式，适当选定变化，构造相应的函数关系，随后用导数的知识来解决问题.本题难点主要是怎样把实际问题中所涉及的几个变量以函数的形式表达出来.解 如图2，设点距点，则，总的水管费用为 又，令，则在上，只有一个极值点，根据实际问题的意义，知处取得最小值，此时所以供水站建在距小明村处才能使水管费用最省例11 轮船公司的年造船量是22艘，已知造x艘船的产值函数为（单位：万元），成本函数为（单位：万元）.在经济学中，函数的边际函数的定义为.（1）求利润函数及边际函数（2）当年造船量是多少艘时，可使公司造船的年利润最大？分析 根据题中已知条件，合理选择条件间的联系方式，构造相应的函数关系，随后用导数知识解决问题.解 （1） （2）令解得（舍去）或当时，函数递增；当时，函数递减.所以当时，利润最大.答：当年造船量是12艘时，可使公司造船的年利润最大.从导数在上述五个方面的应用中可以看出，导数在解决复杂的数学问题占据了重要的作用，它让复杂的数学问题迎刃而解，方法简便步骤清晰较容易掌握.近几年来，高考卷对导数的要求逐渐深入，导数已经由以往的“配角”地位上升到“主角”，成为分析问题和解决问题的重要工具.求导过程并不难，也不是最终落脚点，它的最终目的还是考查函数的性质.解（证明）不等式等重要知识，所以我们不仅要掌握导数的