word离散型随机变量的均值与方差【学习目标】1. 理解取有限个值的离散型随机变量的均值或期望的概念，会根据离散型随机变量的分布列求出均值或期望，并能解决一些实际问题；2. 理解取有限个值的离散型随机变量的方差、标准差的概念，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差，并能解决一些实际问题；【要点梳理】要点一、离散型随机变量的期望1.定义：一般地，若离散型随机变量的概率分布为P则称 为的均值或数学期望，简称期望要点诠释：（1）均值（期望）是随机变量的一个重要特征数，它反映或刻画的是随机变量取值的平均水平（2）一般地，在有限取值离散型随机变量的概率分布中，令，则有，所以的数学期望又称为平均数、均值。（3）随机变量的均值与随机变量本身具有相同的单位2性质：；若(a、b是常数)，是随机变量，则也是随机变量，有；的推导过程如下：的分布列为P于是 )。要点二：离散型随机变量的方差与标准差1.一组数据的方差的概念：已知一组数据，它们的平均值为，那么各数据与的差的平方的平均数叫做这组数据的方差。2.离散型随机变量的方差：一般地，若离散型随机变量的概率分布为P则称称为随机变量的方差，式中的是随机变量的期望的算术平方根叫做随机变量的标准差，记作要点诠释：随机变量的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；随机变量的方差、标准差也是随机变量的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；方差（标准差）越小，随机变量的取值就越稳定（越靠近平均值）标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛。3.期望和方差的关系：4.方差的性质：若(a、b是常数)，是随机变量，则也是随机变量，；要点三：常见分布的期望与方差1、二点分布：若离散型随机变量服从参数为的二点分布，则期望方差证明：,2、二项分布：若离散型随机变量服从参数为的二项分布，即则期望方差期望公式证明：，又，3、几何分布：独立重复试验中，若事件在每一次试验中发生的概率都为，事件第一次发生时所做的试验次数是随机变量，且，称离散型随机变量服从几何分布，记作：。若离散型随机变量服从几何分布，且则期望方差要点诠释：随机变量是否服从二项分布或者几何分布，要从取值和相应概率两个角度去验证。4、超几何分布：若离散型随机变量服从参数为的超几何分布，则期望要点四：离散型随机变量的期望与方差的求法及应用1、求离散型随机变量的期望、方差、标准差的基本步骤：理解的意义，写出可能取的全部值；求取各个值的概率，写出分布列；P根据分布列，由期望、方差的定义求出、：.注意：常见分布列的期望和方差，不必写出分布列，直接用公式计算即可 离散型随机变量的期望，反映了随机变量取值的平均水平； 随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度。方差越大数据波动越大。对于两个随机变量和，当需要了解他们的平均水平时，可比较和的大小。和相等或很接近，当需要进一步了解他们的稳定性或者集中程度时，比较和，方差值大时，则表明比较离散，反之，则表明比较集中品种的优劣、仪器的好坏、预报的准确与否、武器的性能等很多指标都与这两个特征数（数学期望、方差）有关【典型例题】类型一、离散型随机变量的期望例1某射手射击所得环数的分布列如下：78910Pxy已知的期望E8.9，则y的值为_【思路点拨】分布列中含有字母x、y,应先根据分布列的性质，求出x、y的值，再利用期望的定义求解；【解析】x0.10.3y1，即xy0.6.又7x0.82.710y8.9，化简得7x10y5.4.由联立解得x0.2，y0.4.【总结升华】求期望的关键是求出分布列，只要随机变量的分布列求出，就可以套用期望的公式求解，举一反三：【变式1】某一离散型随机变量的概率分布如下，且E（）=1.5，则ab为（ ）0123Pab【答案】B由分布列的性质知：0.1+a+b+0.1=1，a+b=0.8又E（）=00.1+1a+2b+30.1=1.5，即a+2b=1.2解得a=0.4，b=0.4，ab=0【变式2】随机变量的分布列为024P，则E(54)等于()【答案】A 由已知得：E()00.420.340.31.8，E(54)5E()451.8413.【变式3】节日期间，某种鲜花进货价是每束2.5元，销售价每束5元；节后卖不出去的鲜花以每束1.6元价格处理根据前五年销售情况预测，节日期间这种鲜花的需求量服从如下表所示的分布，若进这种鲜花500束，则期望利润是200300400500PA.706元 B690元C754元 D720元【答案】A节日期间预售的量：E2000.23000.354000.35000.154010512075340(束)，则期望的利润：51.6(500)5002.53.4450，E3.4E4503.4340450706.期望利润为706元【变式4】设离散型随机变量的可能取值为1，2，3，4，且（），则 ；【答案】；由分布列的概率和为1，有，又，即，解得，故。例2. 某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得100分假设这名同学回答正确的概率均为0.8，且各题回答正确与否相互之间没有影响 （1）求这名同学回答这三个问题的总得分X的概率分布和数学期望； （2）求这名同学总得分不为负分（即X0）的概率 【思路点拨】本题显然为独立重复试验的问题，因此求各个情况的概率直接用公式即可。（1）求X的可能取值，即求得分，答对0道题得300分，答对1道题得100200=100分，答对2道题得2100100=100分，答对3道题得300分；（2）总分不为负分包括100分和300分两种情况【解析】（1）X的可能取值为300，100，100，3003=0.008。 P（X=100）=20.8=0.096， P（X=100）=2=0.384，3=0.512 所以X的概率分布为X300100100300P E（X）=(300)0.008+(100)0.096+1000.384+3000.512=180 （2）这名同学总得分不为负分的概率为 P（X0）=P（X=100）+P（X=300）=0.384+0.512=0.896【总结升华】求离散型随机变量均值的关键在于列出概率分布表举一反三：【变式1】 篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分，已知他命中的概率为0.7，求他罚球一次得分的期望【答案】因为，所以【变式2】一盒中装有零件12个，其中有9个正品，3个次品，从中任取一个，如果每次取出次品就不再放回去，再取一个零件，直到取得正品为止求在取得正品之前已取出次品数的期望【答案】设取得正品之前已取出的次品数为，显然所有可能取的值为0，1，2，3当时，即第一次取得正品，试验停止，则当时，即第一次取出次品，第二次取得正品，试验停止，则当时，即第一、二次取出次品，第三次取得正品，试验停止，则当时，即第一、二、三次取出次品，第四次取得正品，试验停止，则分布列为0123p【变式3】某城市出租汽车的起步价为10元，行驶路程不超出4km时租车费为10元，若行驶路程超出4km，则按每超出lkm加收2元计费(超出不足lkm的部分按lkm计)从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15km某司机经常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客，由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程(这个城市规定，每停车5分钟按lkm路程计费)，这个司机一次接送旅客的行车路程是一个随机变量设他所收租车费为()求租车费关于行车路程的关系式；()若随机变量的分布列为15161718P0.10.50.30.1求所收租车费的数学期望()已知某旅客实付租车费38元，而出租汽车实际行驶了15km，问出租车在途中因故停车累计最多几分钟?【答案】()依题意得=2(-4)十10，即=2+2；()=2+22E+2=34.8 （元）故所收租车费的数学期望为34.8元()由38=2+2，得=18，5(18-15)=15所以出租车在途中因故停车累计最多15分钟例3若某批产品共100件，其中有20件二等品，从中有放回地抽取3件，求取出二等品的件数的期望、方差。【思路点拨】3次有放回的抽取就是3次独立重复试验，取出二等品的件数这一随机变量服从二项分布。【解析】由题知一次取出二等品的概率为，有放回地抽取3件，可以看作3次独立重复试验，即取出二等品的件数，所以，.【总结升华】 在确定随机变量服从特殊分布以后，可直接运用公式求其均值举一反三：【变式1】 英语考试有100道选择题，每个题有4个选项，选对得1分，否则得0分，学生甲会其中的20道，学生乙会其中的80道，不会的均随机选择，求甲、乙在这次测验中得分的数学期望【答案】设甲、乙不会的题的得分分别为随机变量X和Y，由题意知XB（80，0.25），YB（20，0.25），E（X）=800.25=20，E（Y）=200.25=5故甲、乙的数学期望成绩分别为40分和85分【变式2】 甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为，记甲击中目标的次数为X，乙击中目标的次数为Y， （1）求X的概率分布； （2）求X和Y的数学期望【答案】 甲、乙击中目标的次数均服从二项分布（1），。 所以X的概率分布如下表：X0123P（2）由（1）知，或由题意，。，。【变式3】一次单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确答案，每题选择正确答案得5分，不作出选择或选错不得分，满分100分学生甲选对任一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从4个选择中随机地选择一个，求学生甲和乙在这次英语单元测验中的成绩的期望