指导教师评定成绩附件C：译文（五级制）：指导教师签字：电机动力学对机械手非线性反馈控制的影响Tzyh-Jong Tarn,IEEE 院士, Antal K. Bejczy, IEEE院士, Xiaoping YUn,IEEE 会员，and Zuofeng Li,IEEE 会员摘要在本文中会提到一种抽象的非线性反馈机器人控制器，它包含了机器人 机械手运动，以及机器人关节电机带起的运动。这 2 种运动可以耦合获得三维动 态模型，再结合微分几何控制理论可以应用于生产一个线性的和解耦的机器人控 制器。派生的机器人控制器是工作在机器人任务空间，从而消除了对机器人运动 指令解析到的机器人关节处指令的需要。还要进行计算机模拟分析，以验证了该 机器人控制器的可行性。该控制器在彪 560 机器人手上进行了进一步实验评估。 实验表明，该控制器有良好的轨迹跟踪性能，和强劲的模型误差控制能力。单单 只比较装有非线性反馈机器人控制器的机械手运动，这种推荐的机器人控制器的 明显的提高了其性能。1 总体简介在文献中有很多用以制定刚性机器人手臂动态模型的方法，典型的有，用一个 二阶差分方程组，可以得到表征刚性机械臂的动态行为。手臂关节的作用力和力 矩可以输入此方程组，而执行器的运动通常可以不用考虑到该方程组里。但是， 执行器的运动是构成一个完整的机器人运动的重要部分，特别是在其为高速度运 动和高度不均匀载荷的重要组成部分的情况下。而动力学的机器人执行器和驱动 器的传输模式形成了该机器人的动力学方程，典型地使后者形成一个三阶微分方 程系统。正如我们稍后将在这文章里看到的，三阶控制器专门为此设计第三阶系 统是必要的，以实现双方良好的瞬态响应和较小的稳态跟踪误差。目前我们的模 式制订包含除了机器人驱动电机动力学还有刚体动力学。在第三阶条件就这样采 用到机器人系统模型的时候，该模型还没有包含在机器人三阶动态范围的机械传 动，即由摩擦引起的 当机器人关节加速度变化。在机器人的机械传动动力学方面的第三阶条件通常是 未具体说明的。第三阶系统控制器任务中三阶连续投入使用选择，控制系统，它 具有消除在机器人加速度的导数不连续的优势。第三阶系统控制器的选择让三阶 的功用不断地投入到控制系统中去，使得它具有消除在机器人加速度的导数不连 续的优势。第三阶的引入使得机器人避免过早的因为其抖动引起的硬件退化。据我们所知，没有任何关于机器人控制器实验工作已经报告了采用机器人关节 电机动力，虽然一些作者已讨论过这个问题。古尔审议了驱动器运动在机器人动 态行为中的重要性，并指出电机的运动占机器人动力学的主要部分。现今一般三 阶机器人动态模型都包括动力驱动马达。而他的控制器设计工作是围绕一个简单 非线性机器人运动模型进行的。古耶兹讨论了线性化和非线性两种反馈以及含有 驱动器运动的机械人运动模型的去耦。这工作没有提供一种普遍方法，但它包括 一些自我检查和操作该系统的动态的方程。没有系统的输出方程是明确地被公认 的，不过控制器的设计工作是可以预期的，即基于对机器人关节部位的选择来作 为系统的输出。当然也有系统输入输出量是均等的情况但这毕竟不多。比克曼和 李弗罗因德的非线性控制理论运用到机器人运动模型的控制，这模型包括手臂运 动、电机运动、电机和机器人关节之间的相互作用影响。在机器人的关节处一再 地成为系统输出的时候非线性法则的求导是不需要太复杂的。武科布拉托维奇和 波特科尼亚克介绍了一种三阶机械传动模型。可以证明他们的产品，特别是关于 机器人刚体动态模型方面，实际上是相当于我们的三阶机器人运动模型，他们的 控制装置的设计是基于一个名义上的轨迹，关于他的系统是非线性的。在这篇文章里，我们把驱动运动模型和机器人执行方程组联合起来得到了一个 完整的动态方程三阶机器人运动方程。运用机械臂控制的非线性反馈和机 械臂的非线性反馈和电脑控制中发展出的非线性反馈控制方法，我们设计了一 种非线性反馈，这种非线性情况的转变是这样的，把原始的非线性系统线性化和 去耦化为许多去耦了的线性子系统，这些子系统对应了机器人任务空间里的每个 自由度，非线性去耦系统把任务空间里的指令作为系统输出，这大大有助于这项 任务规划阶段的机器人。一个好的线性系统控制器能够很好地避免系统的不确定 参数。很多电脑仿真都是在具有良好的系统性能的系统控制器上进行的，如用于 美洲狮 520 机器手和其电机的运动模型。这个控制器在美洲狮 520 机械手上的实 现是用一台 MicroVAX II 小型电脑通过远程运动控制来进行的。其实验结果和电 脑的模拟结果是非常接近的。2 机械手的三阶运动模型我们认为用一个电压输入了放大器的转子受控直流电机驱动的机械手。我们将 可以得到电力学方程组。结合电力学方程和动态方程我们可以通过转子的输出电 压和节点得到一个三阶运动方程组,包括了位置、速度、状态变量。这些方程被认 为更切实地描述了机械手地运动状态，并为控制器的设计提供了一个更好的方法。机械手第 J 个电机的转子线路的电力学方程如下：di dw(l)L 为转子线路的电感系数； ju 为转子的电压；jR i + Lj + Kej = u ,j=l,2,nj j j dt j dt j其中:w 为转子角位置；R 为转子线路的电阻；jji为转子的电流；K e 为电力学电压常量jj转子的时间是L /R ,这决定了响应时间。要把电压方程带入到机械手运动方jj程中，需要搞清齿轮箱之间各个量的关系，我们让q代表第n个关节的变量，则 j有：w = Nq ， j=l，,n(2)jj jN 表示第 j 个链接的齿数比，既然输出的电机力矩和当前的转子是成比例的， j设第j个关节处的力矩为T，则有：jT = N KTi ,j=1，,n(3)jj j jKt是第j个电机的力矩常量。j 我们用美洲狮520机械手来模拟，尽管有6个电机，并且每一个对应一个关节， 但只用了 2种类型的电机。大的一个有100W的功率，用于驱动前3个主关节处， 小的一个驱动后面3个次级关节。先模拟前 3个关节，美洲狮520 机械手前 3个 关节处的模拟数据如下：R = 1.60, L = 0.00480 s, Ke= 0.19 V/rad/s, Kt = 37.0 oz-in/A,jjjjN = 62.55, N = 107.81, N = 53.65, j = 1,2,3.123我们记转子线路的时间常量为L /R =3ms，为了高性能的控制这是不能忽视 的。在电磁方程得到后就要考虑机械手的运动方程组了，可以用下列 2 阶微分方 程来描述刚性链接机械手。工D q +I q +HK Dq q + D = T, i=i,nij j ai iijk j k i ij=1j=1 k =1q，q，q为在关节i处的位移，速度，加速度；iiiT 为关节 i 处作用的力矩(力)；iD ， D 为有效惯量和耦合惯量； ii ijI 为关节 i 处的转动惯量； aiD ， D 为向心力系数和科氏力系数；jjk ijkD 为重力；i 为了获得一个包含有驱动和操作联接的机械手的综合方程，联立（1）和（4） 我们可以从通过考虑时间来首先区分（4）的两边：工（D q + Dq）+1 qq q + D q q + D q q）+ D）= Tij jij jai iijk j kijk j kijk j ki ij=1j=1 k =1（5）i=1，,n 代（2）（3）（4）（5）入（1）可得：iN K TiiR （工 D q +1 q + 工艺 d q q + D）+ij j ai iijk j kiLiNKTiii=1， ,n现在我们让q二片q3 qn写为：工（D q + D q ） +1 q + 工另（D -ij j ij j ai iijk j k ijk j k ijk j k iL j=1j=1 k=1q q + D q q + D q q + D + KeN q =ui i i i,上撇号表示置换，那么（6）就可以压缩j=1j=1 k =17）Dq+P（q,q ,q）=u（L1N Kt其中D =1 1LN Kt丿nn久+ hi D门/）1M巧I巧2 + o2 Jr4-r必 IDn2 % + Gp1P2PN+ K認也.我们新标记的方程（7）是三阶的，他的输入到系统的是电压，显然是非线性的和耦合的，在下一个节，我们将用一个非线性反馈来线性化控制方程。然后 线性系统的设计可以在线性化的系统中实施。3 控制方程的线性化在上一节我们建立了一个包含了驱动器的机械手的控制方程，这些方程能够 合适地得到一种控制法则，并为电脑模拟获得一种模式。因为这些方程的复杂性 和非线性性，使得直接获得控制法则是困难的。所以我们将用非线性反馈和矢量 空间转换来线性化控制方程。在这线性化的过程中会把一个非线性控制问题带到 线性控制问题中去。我们首先用矢量空间来表述（7）这个控制方程:曲+訪=诊二i = 1,2,，乩然后（7）可以用矢量变量X如下表述： * FX 二+0U-（功戸（巧3）：或者是8)f （x）和g （x）可以容易地从上面推导得出，方程式（8）是我们系统的矢 量方程。我们现在来考察输出方程，假定机械手的因素没有多余的并且被分配到 的任务在任务空间内可以自由的运动并不受外界环境影响。而后要更好地就机器 人基坐标的最后作用点和方向进行具体说明。我们用一个 N 维的变量重新描述最 后受力点的位置和方向：y =:在大多数情况，h是机器手的正向运动。如果n=6,那前3个部分h , h , h可1 2 3以描述位置后3个部分h，h，h可以描述在基坐标中的方向。h可以写成x 1的456函数，因为最后受力点的方向和位置都是依赖于关节位置q的。注意(8) (9)能用矢量X、出入量u、输出量y描述一个映射的非线性系统， 如在任务空间中给予一个轨迹，那么这个控制问题就是找到一个能够驱动机械手 跟着这个轨迹的轨迹输入u。这是一个跟踪问题，如果不出现意外，在这样一个复 杂的系统中直接找一个输入是很困难的，为了简化控制系统设计，我们要用一个 非线性反馈来线性化这个系统，要这样来做，我们要找到一个非线性反馈：(10) 这是闭环系统(11)是对一个去耦线性系统的映射。我们将用【6】【9】中提供的算法计算a (x)、0 (x)和矢量空间函数Q (x)。首先 我们要计算由下列方程定义的系统的相关程度：P, - max p |- 0, k , ppi=1，,n(12)其中L是Lie导数运算符，包含有f (x)的函数h (x)的Lie导数可以用下 得出：并且有；由于我们的系统由(8)(9)定义，所以可以有如下Lie导数：W = o其中Jh是输出h的雅可比矩阵。因此系统的相关程度都为2，即 匕二卩2二匕二2，那相关的解耦矩阵在【6】【9】中a (x)、0 (x)可以有以下(看【10】)非线性反馈:图1线性系统的控制结构（等于一个任务空间变量） 可由【9】来进行矢量空间转换：U机挾手三阶模型再务计划u *16)心）=“忆内巧检