专题11 实际问题中的方程（组）与函数题型【例1】（2019郑州外国语测试）俄罗斯世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不高于30%，在试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10本，现商店决定提价销售，设每天销售量为y本，销售单价为x元.（1）请直接写出y与x直接的函数关系式及x的取值范围；（2）当每本足球纪念册的销售单价是多少元时，商店每天获利2400元？（3）当每本足球纪念册的销售单价是多少元时，商店每天的利润w最大？最大利润是多少元？【答案】见解析.【解析】解：（1）y=30010(x44)，整理得：y=10x+740，（44x52）；（2）由题意得：（x40）（10x+740）=2400，解得：x=50，x=64（舍），即当每本足球纪念册的销售单价是50元时，商店每天获利2400元.（3）由题意得：w=（x40）（10x+740）=10（x57）2+2890100，对称轴为x=57，当x57时，w随x增大而增大，44x52，当x=52时，w取最大值，最大为2640元，即当每本足球纪念册的销售单价是52元时，商店每天的利润最大，最大利润是2640元.【例2】（2018河师大附中模拟）某养殖专业户计划购买甲、乙两种牲畜，已知乙种牲畜的单价是甲种牲畜单价的2倍多200元，买3头甲种牲畜和1头乙种牲畜共需5700元.（1）甲、乙两种牲畜的单价各是多少元？（2）相关资料表明：甲、乙两种牲畜的成活率分别为95%和99%，若购买以上两种牲畜共50头，并使这50头的成活率不低于97%，且要使购买的总费用最低，应如何购买？【答案】见解析.【解析】解：（1）设甲种牲畜的单价为x元，由题意得：3x+2x+3000=7500，解得：x=1100，21100+200=2400，即甲种牲畜的单价为1100元，乙种牲畜的单价为2400元.（2）设购买甲种牲畜m头时，总购买费用为w元，则w=1100m+2400（50m）=1300m+120000，由题意知：95%m+99%（50m）97%50，解得：m25，即0m25，13000，w随m的增大而减小，当m=25时，w取最小值，即费用最低，购买两种牛各25头时，费用最低.【变式2-1】（2019三门峡二模）水果店王阿姨到水果批发市场打算购进一种水果销售，经过还价，实际价格每千克比原来少2元，发现原来买这种水果80千克的钱，现在可买88千克（1）现在实际购进这种水果每千克多少元？（2）王阿姨准备购进这种水果销售，若这种水果的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足如图所示的一次函数关系求y与x之间的函数关系式；请你帮王阿姨拿个主意，将这种水果的销售单价定为多少时，能获得最大利润？最大利润是多少？（利润销售收入进货金额）【答案】见解析【解析】解：（1）设现在实际购进这种水果价格为每千克a元，则原来价格为每千克（a+2）元，由题意，得：80（a+2）88a，解得：a20即现在实际购进这种水果每千克20元；（2）设y与x之间的函数关系式为：ykx+b，将（25，165），（35，55）代入ykx+b得，解得：，即y与x之间的函数关系式为：y11x+440；设这种水果的销售价格为x元/千克时，利润为w元，则w（x20）y（x20）（11x+440）11（x30）2+1100，110，当x30时，w有最大值，最大值为1100即这种水果的销售单价定为30元时，能获得最大利润，最大利润是1100元【例3】（2018洛阳三模）在江苏卫视最强大脑节目中，搭载百度大脑的机器人小度以3:1的总成绩，斩获2017年度脑王巅峰对决的晋级资格，人工智能时代已经扑面而来某商场第一次用11000元购进某款拼装机器人进行销售，很快销售一空，商家又用24000元第二次购进同款机器人，所购进数量是第一次的2倍，但单价贵了10元（1）求该商家第一次购进机器人多少个？（2）若所有机器人都按相同的标价销售，要求全部销售完毕的利润率不低于20%（不考虑其它因素），那么每个机器人的标价至少是多少元？【答案】见解析.【解析】解：（1）设该商家第一次购进机器人x个，由题意得：，解得：x=100经检验，x=100是所列方程的解，且符合题意答：该商家第一次购进机器人100个（2）设每个机器人的标价是a元由题意得：a110002400020%，解得：a140答：每个机器人的标价至少是140元【变式3-1】（2019周口二模）由于技术更新，智能电视的功能越来越强大，价格也逐渐下降，某电器商行经营的A款40英寸智能电视去年销售总额为5万元，今年每台销售价比去年降低400元，若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少20%（1）今年A款40英寸智能电视每台售价多少元？（用列方程的方法解答）（2）该电器商行计划新进一批A款40英寸智能电视和新款B款40英寸智能电视共60台，且B款40英寸智能电视的进货数量不超过A款40英寸智能电视数量的两倍，应如何进货才能使这批智能电视获利最多？A，B两款40英寸智能电视的进货和销售价格如下表：A款40英寸智能电视B款40英寸智能电视进货价格（元）1 1001 400销售价格（元）今年的销售价格2 000【答案】见解析.【解析】解：设今年A款40英寸智能电视每台售价为x元，则去年每台售价为（x+400）元，由题意得：，解得：x=1600，经检验，x=1600是原方程的解，符合题意，今年A款40英寸智能电视每台售价为1600元.（2）设购进A款电视a台，则购进B款（60a）台，此时获利y元，y=（1600-1100）a+（2000-1400）（60-a）=-100a+36000，其中：60-a2a，0a60，即20a60，且a为整数；-1000，w随m的增大而增大，当m=50时，运费最少，最少为450元，当购买A种产品50个，B种产品50个时，总运费最少，最少为450元 .1.（2019济源一模）为支持国家南水北调工程建设，小王家由原来养殖户变为种植户， 经市场调查得知，种植草莓不超过 20 亩时，所得利润 y（元）与种植面积 m（亩）满足关系式 y=1 500 m；超过20亩时，y=1380m+2400而当种植樱桃的面积不超过 15 亩时，每亩可获得利润 1800 元；超过 15 亩时，每亩获得利润 z（元）与种植面积 x（亩）之间的函数关系式为 z=20x+2 100（1）设小王家种植 x 亩樱桃所获得的利润为 P 元，直接写出 P 关于 x 的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（2）如果小王家计划承包40 亩荒山种植草莓和樱桃，当种植樱桃面积（x亩）满足0x20时，求小王家总共获得的利润w（元）的最大值【答案】见解析.【解析】解：（1）由题意得：（2）种植樱桃面积x亩，则种植草莓面积（40x）亩，由题意知，当00，w随x的增大而增大，当x=15时，w最大，最大值为63900，当15x20时，w=20x2+2100x+1380(40x)+2400=20（x18）2+64080，2063900，当x=18时，小王家总共获得的利润w取最大值，最大值为64080元.2.（2019洛阳二模）某游乐园的门票销售分两类：一类个人门票，分为成人票，儿童票；一类为团体门票（一次购买门票 10 张及以上），每张门票在成人票价格基础上打 6 折已知一个成人带两个儿童购门票需 80 元；两个成人带一个儿童购门票需 100 元（1）每张成人票和儿童票的价格分别是多少元？（2）光明小学 4 名老师带领 x 名儿童到该游乐园，设购买门票需 y 元若每人分别购票，求 y 与 x 之间的函数关系式；若购买团体票，求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围；请根据儿童人数变化设计一种比较省钱的购票方案【答案】见解析.【解析】解：设成人票每张a元，儿童票每张b元，由题意得：a+2b=80，2a+b=100，解得：a=40，b=20，即成人票每张40元，儿童票每张20元；（2）y=440+20x=160+20xy=400.6（x+4）=24x+96，由x+410，得x6，且x为整数.（i）当160+20x24x