最新数学高考复习资料第1讲统计与统计案例高考定位1.抽样方法、样本的数字特征、统计图表、回归分析与独立性检验主要以选择题、填空题形式命题，难度较小；2.注重知识的交汇渗透，统计与概率，回归分析与概率是近年命题的热点，2015年，2016年和2017年在解答题中均有考查.真 题 感 悟1.(2017全国卷)为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田.这n块地的亩产量(单位：kg)分别为x1，x2，xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是()A.x1，x2，xn的平均数 B.x1，x2，xn的标准差C.x1，x2，xn的最大值 D.x1，x2，xn的中位数解析刻画评估这种农作物亩产量稳定程度的指标是标准差.答案B2.(2016全国卷)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图中A点表示十月的平均最高气温约为15 ，B点表示四月的平均最低气温约为5 .下面叙述不正确的是()A.各月的平均最低气温都在0 以上B.七月的平均温差比一月的平均温差大C.三月和十一月的平均最高气温基本相同D.平均最高气温高于20 的月份有5个解析根据雷达图可知全年最低气温都在0 以上，故A正确；一月平均最高气温是6 左右，平均最低气温2 左右，七月平均最高气温22 左右，平均最低气温13 左右，所以七月的平均温差比一月的平均温差大，B正确；三月和十一月的平均最高气温都是10 ，三月和十一月的平均最高气温基本相同，C正确；平均最高气温高于20 的有七月和八月，D项不正确.答案D3.(2017山东卷)为了研究某班学生的脚长x(单位：厘米)和身高y(单位：厘米)的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其回归直线方程为x.已知xi225，yi1 600，4.该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为()A.160 B.163 C.166 D.170解析由已知得22.5，160，回归直线方程过样本点中心(，)，且4，160422.5，解得70.回归直线方程为4x70，当x24时，166.答案C4.(2017全国卷)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg)，其频率分布直方图如下：(1)记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg”，估计A的概率；(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：箱产量50 kg箱产量50 kg旧养殖法新养殖法(3)根据箱产量的频率分布直方图，对这两种养殖方法的优劣进行比较.附：P(K2k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828K2解(1)由频率分布直方图知，旧养殖法的箱产量低于50 kg的频率为(0.0120.0140.0240.0340.040)50.62，则事件A的概率估计值为0.62.(2)列联表如下：箱产量6.635，有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关.(3)由箱产量的频率分布直方图可知，旧养殖法的箱产量平均值(或中位数)约在4550 kg之间，新养殖法的箱产量平均值(或中位数)约在5055 kg之间，且新养殖法的箱产量分布集中程度较旧养殖法分布集中程度高，可知新养殖法的箱产量高且稳定，从而新养殖法优于旧养殖法.考 点 整 合1.抽样方法抽样方法包括简单随机抽样、系统抽样、分层抽样，三种抽样方法都是等概率抽样，体现了抽样的公平性，但又各有其特点和适用范围.2.统计中的四个数据特征(1)众数：在样本数据中，出现次数最多的那个数据.(2)中位数：样本数据中，将数据按大小排列，位于最中间的数据.如果数据的个数为偶数，就取中间两个数据的平均数作为中位数.(3)平均数：样本数据的算术平均数，即(x1x2xn).(4)方差与标准差.s2(x1)2(x2)2(xn)2，s.3.直方图的两个结论(1)小长方形的面积组距频率.(2)各小长方形的面积之和等于1.4.回归分析与独立性检验(1)回归直线y b xa 经过样本点的中心点(，)，若x取某一个值代入回归直线方程y b xa 中，可求出y的估计值.(2)独立性检验对于取值分别是x1，x2和y1，y2的分类变量X和Y，其样本频数列联表是：y1y2总计x1ababx2cdcd总计acbdn则K2(其中nabcd为样本容量).热点一抽样方法【例1】(1)(2015北京卷)某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本中的老年教师人数为()类别人数老年教师900中年教师1 800青年教师1 600总计4 300A.90 B.100 C.180 D.300(2)(2017长沙雅礼中学质检)在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示若将运动员按成绩由好到差编为135号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间139，151上的运动员人数是_.解析(1)设该样本中的老年教师人数为x，由题意及分层抽样的特点得，故x180.(2)依题意，可将编号为135号的35个数据分成7组，每组有5个数据.在区间139，151上共有20个数据，分在4个小组内，每组抽取1人，共抽取4人.答案(1)C(2)4探究提高1.解决此类题目的关键是深刻理解各种抽样方法的特点和适用范围.但无论哪种抽样方法，每一个个体被抽到的概率都是相等的，都等于样本容量与总体容量的比值.2.在系统抽样的过程中，要注意分段间隔，需要抽取n个个体，样本就需要分成n个组，则分段间隔即为(N为样本容量)，首先确定在第一组中抽取的个体的号码数，再从后面的每组中按规则抽取每个个体.【训练1】 (1)(2017郑州模拟)为规范学校办学，某省教育厅督察组对某所高中进行了抽样调查.抽到的班级一共有52名学生，现将该班学生随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知7号、33号、46号同学在样本中，那么样本中还有一位同学的编号应是()A.13 B.19 C.20 D.51(2)(2017江苏卷)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取_件.解析(1)由系统抽样的原理知，抽样的间隔为52413，故抽取的样本的编号分别为7，713， 7132，7133，即7号，20号，33号，46号.样本中还有一位同学的编号为20号.(2)因为样本容量n60，样本总体N2004003001001 000，所以抽取比例为.因此应从丙种型号的产品中抽取30018(件).答案(1)C(2)18热点二用样本估计总体命题角度1数字特征与茎叶图的应用【例21】(2017北京东城质检)某班男女生各10名同学最近一周平均每天的锻炼时间(单位：分钟)用茎叶图记录如下：假设每名同学最近一周平均每天的锻炼时间是互相独立的.男生每天锻炼的时间差别小，女生每天锻炼的时间差别大；从平均值分析，男生每天锻炼的时间比女生多；男生平均每天锻炼时间的标准差大于女生平均每天锻炼时间的标准差；从10个男生中任选一人，平均每天的锻炼时间超过65分钟的概率比同样条件下女生锻炼时间超过65分钟的概率大.其中符合茎叶图所给数据的结论是()A. B. C. D.解析由茎叶图知，男生每天锻炼时间差别小，女生差别大，正确.男生平均每天锻炼时间超过65分钟的概率P1，女生平均每天锻炼时间超过65分钟的概率P2，P1P2，因此正确.设男生、女生两组数据的平均数分别为甲，乙，标准差分别为s甲，s乙.易求甲65.2，乙61.8，知甲乙，正确.又根据茎叶图，男生锻炼时间较集中，女生锻炼时间较分散，s甲0.5.又前4组的频率之和为0.040.080.150.210.480.5.所以2x2.5.由0.50(x2)0.50.48，解得x2.04.故可估计居民月均用水量的中位数为2.04吨.探究提高1.平均数与方差都是重要的数字特征，是对数据的一种简明描述，它们所反映的情况有着重要的实际意义.平均数、中位数、众数描述数据的集中趋势，方差和标准差描述数据的波动大小.2.在本例22中，抓住频率分布直方图各小长方形的面积之和为1，这是求解的关键；本题易混淆频率分布条形图和频率分布直方图，误把频率分布直方图纵轴的几何意义当成频率，导致样本数据的频率求错.【训练2】 (2017北京卷)某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：20，30)，30，40)，80，90，并整理得到如下频率分布直方图：(1)从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；(2)已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间40，50)内的人数；(3)已知样本中有一半男生的分数