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2022年高三第三次联考 数学理 南昌二中 赖敬华 鹰潭一中 黄鹤飞本试卷分第卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分,满分150分,时间120分钟 第卷一.选择题(本大题10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1、巳知 是虚数单位,集合(整数集)和 则集合 的元素个数是( )A3个 B2个 y=2x-3否是 开始输入x x5y= x -1输出y结束是否x2y=x2C1个 D无穷个2、下列说法正确的是( )A函数在其定义域上是减函数B两个三角形全等是这两个三角形面积相等的必要条件C命题“R,”的否定是“R,”D给定命题、,若是真命题,则是假命题3、如图给出了一个程序框图,其作用是输入的值,输 出相应的值若要使输入的值与输出的值相等,则这样的值有( )个.A1 B2 C3 D44、如图,长方形的四个顶点为,曲线经过点现将一质点随机投入长方形中,则质点落在图中阴影区域的概率是( )A B C D5、函数的图象如图所示,其中,,则下列关于函数的说法中正确的是( )A对称轴方程是 BC最小正周期是 D在区间上单调递减6、现有8名青年,其中5名能任英语翻译工作,4名能胜任电脑软件设计工作,且每人至少能胜这两项工作中的一项,现从中选5人,承担一项任务,其中3人从事英语翻译工作,2人从事软件设计工作,则不同的选派方法有( )A60种 B54种 C30种 D42种7、若函数在上可导,且满足不等恒成立,常数,满足则下列不等式一定成立的是( )A BC D8、若变量满足约束条件,则取最小值时, 二项展开式中的常数项为( ) A B C D 9、一个几何体的俯视图是一个圆,用斜二侧画法画出正视图和俯视图都是边长为6和4,锐角为450的平行四边形,则该几何体的体积为 ( )A B C D以上答案均不正确10、已知椭圆的两个焦点,过且与坐标轴不平行的直线与椭圆相交于,两点,的周长等于8. 若过点(1,0)的直线与椭圆交于不同两点、,轴上存在定点(,0),使恒为定值,则的坐标为 ( )A B C D第卷二.填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分,把答案填在答题卡的相应位置)11、数列共有11项,满足这样条件的不同数列的个数为 ;12、某大学对1000名学生的自主招生水平测试成绩进行统计,得到样本频率分布直方图如图所示,现规定不低于70分为合格,则合格人数是 ;O405060708090100分数0.0050.0100.0150.0200.0250.0300.035频率组距第(12)题图 13、设函数在处取得极值,则= ;14、如图放置的正方形,,,分别在轴、轴的正半轴(含原点)上滑动,则的最大值是 ;15、(考生注意:请在下列两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评分)(A) (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,若等边三角形顶点按顺时针方向排列)的顶点的极坐标分别为,则顶点的极坐标为 ;(B) (不等式选讲选做题)关于的不等式:的解集为,若,则实数的值等于 .三.解答题(本大题共6小题,共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16、(本小题12分)在钝角三角形ABC中,分别是角A、B、C的对边,且.(1)求角A的大小;(2)求函数的值域17、(本小题12分)张先生的鱼缸中有7条鱼,其中6条青鱼和1条黑鱼,计划从当天开始,每天中午从该鱼缸中抓出1条鱼(每条鱼被抓到的概率相同)并吃掉若黑鱼未被抓出, 则它每晚要吃掉1条青鱼(规定青鱼不吃鱼)(1)求这7条鱼中至少有6条被张先生吃掉的概率;(2)以表示这7条鱼中被张先生吃掉的鱼的条数,求的分布列及其数学期望18、(本小题12分)已知数列是各项均不为的等差数列,公差为,为其前项和,且满足,数列满足,为数列的前n项和(1)求数列的通项公式和;(2)是否存在正整数,使得成等比数列?若存在,求出所有的值;若不存在,请说明理由19、(本小题12分) 在等腰梯形中,为上的点且,将沿折起到的位置,使得二面角的平面角为30.(1)求证:(2)求二面角的余弦值20、(本小题13分)已知椭圆的离心率为,其左、右焦点为点是坐标平面内一点,且其中为坐标原点。(1)求椭圆的方程;0xySBA(2)如图,过点的动直线交椭圆于两点,是否存在定点,使以为直径的圆恒过这个点?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由21、(本小题14分)已知函数,当时,函数取得极大值.(1)求实数的值;(2)已知结论:若函数在区间内导数都存在,且,则存在,使得.试用这个结论证明:若,函数,则对任意,都有;(3)已知正数满足求证:当,时,对任意大于,且互不相等的实数,都有江西省重点中学协作体xx届高三第三次联考数学试题(理科)答案第卷一、选择题:BDCCD,DBADC二、填空题:11.120,12.600,13.2 14.2 15.A B,11解析:或设有个1,则有个所以这样的数列个数有14 【解析】法一: 取的中点,连接.则. 法二:设,则, 三、解答题;本大题共6小题,共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16(本小题12分) ()7分当角B为钝角时,角C为锐角,则,10分当角B为锐角时,角C为钝角,则,11分综上,所求函数的值域为.12分17.解:()设张先生能吃到的鱼的条数为张先生要想吃到7条鱼就必须在第一天吃掉黑鱼, 2分张先生要想吃到6条鱼就必须在第二天吃掉黑鱼, 4分故张先生至少吃掉6条鱼的概率是 6分()张先生能吃到的鱼的条数可取4,5,6,7,最坏的情况是只能吃到4条鱼:前3天各吃掉1条青鱼,其余3条青鱼被黑鱼吃掉,第4天张先生吃掉黑鱼,其概率为 8分 10分所以的分布列为(必须写出分布列, 否则扣1分)4567P11分故,所求期望值为5. 1218.解:()(法一)在中,令,得 即 解得,, -2分-3分-4分-6分(法二)是等差数列, 由,得 , 又,则(求法同法一) (), 若成等比数列,则,即 法一:由,可得 -8分即, -10分又,且,所以,此时因此,当且仅当, 时,数列中的成等比数列12分(法二)因为,故,即,(以下同上)19.解:()证明如图1中,在等腰梯形ABCD中,AB3,CD1,AE1,DEAB,如图2中,DEA1E,DEBE,DE平面A1EB,故DEA1B.()如图建立空间直角坐标系,设EA1与x轴所成的角为,则A1(cos ,sin ,0),B(0,2,0),C(0,1,),D(0,0,),(cos ,1sin ,),(0,1,0),设平面A1CD的法向量为n1(x,y,z),平面BCDE的法向量为n2(1,0,0),则令z1,则n1,cosn1,n2,解得cos 21,即0,此时点A1在x轴上,A1(1,0,0),(1,2,0),n1(,0,1),设平面A1BC的法向量为n3(x,y,z),则令y1,得n3.故cosn1,n3.结合图形,可得二面角BA1CD为钝角,故二面角的余弦值为.20.解: ()设,, 1分又,,即 2分代入得:. 又故所求椭圆方程为 5分()假设存在定点M,使以AB为直径的圆恒过这个点。当AB轴时,以AB为直径的圆的方程为: 当AB轴时,以AB为直径的圆的方程为: 由,知定点M下证:以AB为直径的圆恒过定点M。设直线,代入,有.设,则. 8分则,在轴上存在定点,使以为直径的圆恒过这个定点. 13分21.解:(). 由,得,此时.当时,函数在区间上单调递增;当时,函数在区间上单调递减. 函数在处取得极大值,故.3分()令,4分则.函数在上可导,存在,使得.又当时,单调递增,;当时,单调递减,;故对任意,都有.8分()用数学归纳法证明.当时,且,由()得,即,当时,结论成立.9分假设当时结论成立,即当时,. 当时,设正数满足令, 则,且. 13分当时,结论也成立.综上由,对任意,结论恒成立. 14分
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