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函数单调性的常用判断方法及应用 函数单调性的常用判断方法及应用 湖北麻城:阮 晓 锋 单调性是函数的重要性质,它在数学中有许多应用,如我们常利用它求函数的值域,进而求题中字母或参数的取值范围。那么,有哪些常用的判断函数单调性方法呢? 判断函数单调性的常用方法有: 利yizhi用增函数的定义进行判断; 利用导数进行判断(本文暂不举例); 利用图象进行判断; 利用简单初等函数的单调性结论直接进行判断; 利用一些重要结论进行判断: 若f(x)在区间D上是增函数,则它在D的任意子区间上也是增(减)函数; f(x)+C与f(x)具有相同的单调性; 当C0时,Cf(x)与f(x)具有相同的单调性; 若f(x)与g(x)的单调性相同,则f(x)+g(x)也有相同的单调性;若f(x)与g(x) 的单调性相反,则f(x)-g(x)与f(x)的单调性相同,与g(x)的单调性相反。 由两个函数组成的复合函数的单调性的判断规律为“同增异减”; 奇函数在关于原点对称的区间上的单调性完全相同,而偶函数则在关于原点对称 的区间上的单调性正好相反。 例1 若函数f(x)=ax2+x在上单调递增,则a的取值范围为_; 2x+1,x0,2 已知函数f(x)=,则不等式f(1-x)f(2x)的取值范围为_。 1 , x0解:填0,+),理由如下 当a=0时显然符合题设要求; 当a0时,由二次函数单调性知它在- 则得- 得-12a12a12a12a,+上单调递减,不可能符合题意; ,+)上单调递增 ,+) 0且a0解之得a0 综上知:a的取值范围为0,+)。 先画出f(x)的图象,由图象知f(x)在0,+)上单调递增,且当x0时f(x)=0er 221-x01-x2x或 从而得解之得-1x0或0x2-1j即-1x0 故本题应填 例2:已知函数f(x)=xx-a 若a=-2,试证:f(x)在(-,-2)内单调递增; 若a0且f(x)在(1,+)内单调递减,求a的取值范围。 解:若a=-2,则f(x)=xx+2 任取x1,x2(-,-2),且使得x1x2,则有x1+2x2+20且x1-x20 f(x1)-f(x2)=xx11+2-xx22+2=2(x1-x2)(x1+2)(x2+2)0即 f(x1)0,则由f(x)=xx-a=1+ax-a知f(x)在。 4aa t=ax-2x=,则y=f(X)=logt ax-1a2)-1a2在x上单调递增 4 依题意得y=logt为增函数且t0对x恒成立 a14a-22 a4a20,解之得a1 故a的取值范围为(1,+). 练习题: =是上的减函数,那么a的取值范围 x,x1loga 是 A, B. C.1/7,1/3) D. 题2:若y=log(2-ax)在上单调递减,则a的取值范围为_; a 若函数f(x)=2ax+2x+2在(-2,+)上单调递增,则实数a的取值范围为_. 题3:设f(x)=x-2ax+2,当x(-1,+)时f(x)a恒成立,求实数a的取值范围。 题4:设函数的定义域为R,当x0时f(x)0,且对任意的x,yR有f(x+y)=f(x)f(y),试 解不等式f(x)1f(x+1). 题5:已知函数f(x)=x2+2x+ax,x1,+) 当a=1/2时,求函数f的最小值; 若对任意x1,+),f0恒成立,试求实数a的取值范围。 附答案提示: 题1:选C 题2:(1,2);(1,+) 题3:22-a,a-1,=可得a-3,1 2a+3,a0恒成立且f(x)在R上单调递增,可求得解集为在1,+)上的最小值为f= a的取值范围为 7212
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