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2019届数学人教版精品资料3.4生活中的优化问题举例课时目标通过用料最省、利润最大、效率最高等优化问题,使学生体会导数在解决实际问题中的作用,会利用导数解决简单的实际生活中的优化问题1生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题,这些问题通常称为_,通过前面的学习,我们知道_是求函数最大(小)值的有力工具,运用_,可以解决一些生活中的_2解决实际应用问题时,要把问题中所涉及的几个变量转化成函数关系,这需通过分析、联想、抽象和转化完成函数的最值要由极值和端点的函数值确定,当定义域是开区间,而且其上有惟一的极值,则它就是函数的最值3解决优化问题的基本思路是:上述解决优化问题的过程是一个典型的_过程一、选择题1某箱子的容积与底面边长x的关系为V(x)x2 (0x60),则当箱子的容积最大时,箱子底面边长为()A30B40C50D其他2已知某生产厂家的年利润y(单位:万元)与年产量x(单位:万件)的函数关系式为yx381x234,则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为()A13万件B11万件C9万件D7万件3某工厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场,一边可以利用原有的墙壁,其他三边需要砌新的墙壁,当砌壁所用的材料最省时堆料场的长和宽分别为()A32米,16米B30米,15米C40米,20米D36米,18米4若底面为等边三角形的直棱柱的体积为V,则其表面积最小时,底面边长为()ABCD25要做一个圆锥形的漏斗,其母线长为20cm,要使其体积最大,则高为()A cm B cmCcm Dcm6某公司生产某种产品,固定成本为20000元,每生产一单位产品,成本增加100元,已知总收益r与年产量x的关系是r,则总利润最大时,年产量是()A100B150C200D300题号123456答案二、填空题7某公司租地建仓库,每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比,而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比,如果在距离车站10千米处建仓库,这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元那么,要使这两项费用之和最小,仓库应建在离车站_千米处8如图所示,一窗户的上部是半圆,下部是矩形,如果窗户面积一定,窗户周长最小时,x与h的比为_9做一个无盖的圆柱形水桶,若需使其体积是27,且用料最省,则圆柱的底面半径为_三、解答题10某地建一座桥,两端的桥墩已建好,这两墩相距m米,余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩经测算,一个桥墩的工程费用为256万元,距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2)x万元假设桥墩等距离分布,所有桥墩都视为点,且不考虑其它因素记余下工程的费用为y万元(1)试写出y关于x的函数关系式;(2)当m640米时,需新建多少个桥墩才能使y最小?11某商品每件成本9元,售价30元,每星期卖出432件如果降低价格,销售量可以增加,且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x(单位:元,0x30)的平方成正比,已知商品单价降低2元时,一星期多卖出24件(1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数;(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大?能力提升12某单位用2160万元购得一块空地,计划在该块地上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房经测算,如果将楼房建为x(x10)层,则每平方米的平均建筑费用为56048x(单位:元)为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为多少层?(注:平均综合费用平均建筑费用平均购地费用,平均购地费用)13已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C1004q,价格p与产量q的函数关系式为p25q,求产量q为何值时,利润L最大利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各变量之间的关系,建立实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系yf(x);(2)求函数的导数f(x),解方程f(x)0;(3)比较函数在区间端点和f(x)0的点的函数值的大小,最大(小)者为最大(小)值;(4)写出答案3.4生活中的优化问题举例答案知识梳理1优化问题导数导数优化问题作业设计1BV(x)60xx20,x0或x40.x(0,40)40(40,60)V(x)0V(x)极大值可见当x40时,V(x)达到最大值2Cyx281,令y0,得x9或x9(舍去)当0x0;当x9时,y0),则L2.令L0,得x16.x0,x16.当x16时,L极小值Lmin64,此时堆料场的长为32(米)4C设底面边长为a,直三棱柱高为h.体积Va2h,所以h,表面积S2a23aa2,Sa,由S0,得a.经验证,当a时,表面积最小5D设高为xcm,则底面半径为cm,体积Vx(202x2) (0x0,当x时,V400时,p0恒成立,易知当x300时,总利润最大75解析依题意可设每月土地占用费y1,每月库存货物的运费y2k2x,其中x是仓库到车站的距离于是由2,得k120;由810k2,得k2.因此两项费用之和为y,y,令y0得x5(x5舍去),经验证,此点即为最小值点故当仓库建在离车站5千米处时,两项费用之和最小811解析设窗户面积为S,周长为L,则Sx22hx,hx,所以窗户周长Lx2x2hx2x,L2.由L0,得x,x时,L0,所以当x时,L取最小值,此时1.93解析设半径为r,则高h.水桶的全面积S(r)r22rr2.S(r)2r,令S(r)0,得r3.当r3时,S(r)最小10解(1)设需新建n个桥墩,则(n1)xm,即n1 (0xm),所以yf(x)256n(n1)(2)x256(2)xm2m256 (0xm)(2)由 (1)知,f(x)mx(x512)令f(x)0,得x512,所以x64.当0x64时,f(x)0,f(x)在区间(0,64)内为减函数;当64x0,f(x)在区间(64,640)内为增函数,所以f(x)在x64处取得最小值,此时n119.故需新建9个桥墩才能使y最小11解(1)设商品降低x元时,多卖出的商品件数为kx2,若记商品在一个星期的销售利润为f(x),则依题意有f(x)(30x9)(432kx2)(21x)(432kx2),又由已知条件24k22,于是有k6,所以f(x)6x3126x2432x9072,x0,30(2)根据(1),有f(x)18x2252x43218(x2)(x12)当x变化时,f(x)与f(x)的变化情况如下表:x0,2)2(2,12)12(12,30f(x)00f(x)极小值极大值故x12时,f(x)达到极大值因为f(0)9072,f(12)11664,所以定价为301218(元)能使一个星期的商品销售利润最大12解设楼房每平方米的平均综合费用为f(x)元,则f(x)(56048x)56048x(x10,xN*),f(x)48,令f(x)0得x15.当x15时,f(x)0;当0x15时,f(x)0.因此,当x15时,f(x)取最小值f(15)2000.所以为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为15层13解收入Rqpq25qq2.利润LRC(1004q)q221q100 (0q200),Lq21,令L0,即q210,解得q84.因为当0q0;当84q200时,L0,所以当q84时,L取得最大值所以产量q为84时,利润L最大
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